يبلغ نصف قطر دائرتين متحد المركزين 16 سم و 10 سم. AB هو قطر الدائرة الأكبر. BD هو الظل إلى دائرة أصغر لمسها في D. ما هو طول م؟

إجابة:

#bar (AD) = 23.5797 #

تفسير:

اعتماد الأصل #(0,0)# كمركز مشترك ل # # C_i و # # C_e والاتصال # r_i = 10 # و # r_e = 16 # نقطة الظل # p_0 = (x_0، y_0) # هو في التقاطع #C_i nn C_0 # أين

# C_i-> س ^ 2 + ص ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> س ^ 2 + ص ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

هنا # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

حل ل #C_i nn C_0 # نحن لدينا

# {(س ^ 2 + ص ^ 2 = r_i ^ 2)، ((خ-r_e) ^ 2 + ص ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

طرح الأول من المعادلة الثانية

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # وبالتالي

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # و # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

وأخيرا المسافة المطلوبة

#bar (AD) = الجذر التربيعي ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = الجذر التربيعي (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

أو

#bar (AD) = 23.5797 #

تفسير:

إذا #bar (BD) # هو الظل ل # # C_i ثم #hat (ODB) = pi / 2 # حتى نتمكن من تطبيق فيثاغورس:

#bar (OD) ^ 2 + شريط (DB) ^ 2 = شريط (OB) ^ 2 # تحديد # # r_0

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

النقطة #د# الإحداثيات ، ودعا # (x_0، y_0) # يجب الحصول عليها قبل حساب المسافة المطلوبة #bar (AD) #

هناك العديد من الطرق للقيام بذلك. طريقة بديلة هي

# y_0 = شريط (BD) الخطيئة (قبعة (OBD)) # لكن #sin (قبعة (OBD)) = شريط (OD) / شريط (OB) #

ثم

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # و

# x_0 = الجذر التربيعي (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

حسب البيانات المعطاة يتم رسم الرقم أعلاه.

O هو المركز المشترك لدائرتين متحدة المركز

#AB -> "قطر الدائرة الأكبر" #

# AO = OB -> "نصف قطر الدائرة الأكبر" = 16 سم #

#DO -> "نصف قطر الدائرة الأصغر" = 10cm #

#BD -> "الظل إلى الدائرة الأصغر" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

سمح # / _ تاريخ الميلاد = ثيتا => / _ AOD = (180 ثيتا) #

في #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

تطبيق قانون جيب التمام في #Delta ADO # نحن نحصل

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180 ثيتا) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #