كيف يمكنني العثور على الباحث int (ln (x)) ^ 2dx؟

هدفنا هو تقليل قوة #ln x # بحيث لا يتجزأ من السهل تقييم.

يمكننا تحقيق ذلك باستخدام التكامل بالأجزاء. ضع في اعتبارك صيغة IBP:

#int u dv = uv - int v du #

الآن ، سوف ندع #u = (lnx) ^ 2 #و #dv = dx #.

وبالتالي،

#du = (2lnx) / x dx #

و

#v = x #.

الآن ، بتجميع القطع مع ا ، نحصل على:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

هذا جزء لا يتجزأ جديد يبدو أفضل بكثير! تبسيط بعض الشيء ، وإخراج الواجهة الأمامية الثابتة ، يؤدي إلى:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

الآن ، للتخلص من هذا التكامل التالي ، سنفعل التكامل الثاني عن طريق الأجزاء ، والسماح #u = ln x # و #dv = dx #.

وهكذا، #du = 1 / x dx # و #v = x #.

التجميع يعطينا:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

الآن ، كل ما تبقى هو تبسيط ، مع الأخذ في الاعتبار لإضافة ثابت التكامل:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

ويوجد لدينا ذلك. تذكر أن التكامل حسب الأجزاء هو كل شيء عن الانتقاء # ش # بحيث يتم القضاء على الأشياء الفوضى من integrand. في هذه الحالة جئنا # (ln x) ^ 2 # نازل إلى #ln x #، ثم إلى # 1 / س #. في النهاية ، بعض # # ستم إلغاؤه ، وأصبح الاندماج أسهل.