ما هي مساحة سطح المادة الصلبة التي أنشأتها الدوارة f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x) ، x في [1،3] حول المحور x؟

إجابة:

تحديد علامة ، ثم دمج بواسطة أجزاء. المنطقة هي:

# A = 39.6345 #

تفسير:

عليك أن تعرف ما إذا كان # F (خ) # هو سلبي أو إيجابي في #1,3#. وبالتالي:

# XE ^ -x-XE ^ س #

# ضعف (ه ^ -x-ه ^ س) #

لتحديد علامة ، سيكون العامل الثاني موجب ا عندما:

# ه ^ -x-ه ^ س> 0 #

# 1 / ه ^ س-ه ^ س> 0 #

# ه ^ س * 1 / ه ^ س-ه ^ س * ه ^ س> ه ^ س * 0 #

منذ # ه ^ س> 0 # لأي #x في (-oo ، + oo) # عدم المساواة لا يتغير:

# 1-ه ^ (س + س)> 0 #

# 1-ه ^ (2X)> 0 #

# ه ^ (2X) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2X <0 #

# ضعف <0 #

لذلك تكون الوظيفة إيجابية فقط عندما تكون x سالبة والعكس صحيح. لأن هناك أيضا # # س عامل في # F (خ) #

# F (س) = س (ه ^ -x-ه ^ س) #

عندما يكون أحد العوامل موجب ا ، يكون الآخر سالب ا ، لذلك تكون f (x) دائما سلبية. لذلك ، المنطقة:

# A = -int_1 ^ 3F (خ) DX #

# A = -int_1 ^ 3 (XE ^ -x-XE ^ س) DX #

# A = -int_1 ^ ^ 3xe -xdx + int_1 ^ ^ 3xe xdx #

# A = -int_1 ^ 3X * (- (ه ^ -x) ') DX + int_1 ^ 3X (ه ^ س)' DX #

# A = int_1 ^ 3X * (ه ^ -x) "DX + int_1 ^ 3X (ه ^ س) 'DX #

# A = XE ^ -x _1 ^ 3 int_1 ^ 3 (خ) 'ه ^ -xdx + س (ه ^ س) _ 1 ^ 3 int_1 ^ 3 (خ)' ه ^ xdx #

# A = XE ^ -x _1 ^ 3 int_1 ^ ^ 3E -xdx + س (ه ^ س) _ 1 ^ 3 int_1 ^ ^ 3E xdx #

# A = XE ^ -x _1 ^ 3 - - ه ^ -x _1 ^ 3 + س (ه ^ س) _ ^ 1 3- ه ^ س _1 ^ 3 #

# A = (3E ^ -3-1 * ه ^ -1) + (ه ^ -3-ه ^ -1) + (3E ^ 3-1 * ه ^ 1) - (ه ^ ^ 3E 1) #

# A = 3 / ه ^ 3-1 / ه + 1 / ه ^ 3-1 / ه + 3E ^ 3E-ه ^ 3 + ه #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

باستخدام الآلة الحاسبة:

# A = 39.6345 #

إجابة:

المساحة = 1136.8 وحدة مربعة

تفسير:

العطاء #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

لالبساطة اسمحوا # F (س) = ص #

و # y = xe ^ -x -xe ^ x #

المشتق الأول # ذ '# هناك حاجة في حساب مساحة السطح.

منطقة # = 2pi int_1 ^ 3 y # # # س

أين # # س# = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

منطقة # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

تحديد المشتق الأول # ذ '#:

تميز # y = x (e ^ -x - e ^ x) # باستخدام مشتق من صيغة المنتج

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

بعد التبسيط والعوملة ، والنتيجة هي

المشتق الأول # ذ '= ه ^ -x * (1-س) -e ^ س * (1 + س) #

حساب الآن المنطقة:

المنطقة = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # # س

منطقة # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # DX #

منطقة

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # DX #

بالنسبة للتكاملات المعقدة مثل هذا ، يجوز لنا استخدام قاعدة سيمبسون:

لهذا السبب

منطقة

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # DX #

المساحة = -11،336.804

هذا ينطوي على اتجاه الثورة بحيث يمكن أن يكون هناك مساحة سطح سلبية أو مساحة سطح إيجابية. دعونا ننظر فقط في القيمة الإيجابية المساحة = 11336.804 وحدة مربعة