زاويتان من المثلث لهما زاويتان (3 pi) / 4 و pi / 6. إذا كان طول أحد جانبي المثلث 9 ، فما هو أطول محيط ممكن للمثلث؟

إجابة:

أطول محيط ممكن هو # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

تفسير:

باستخدام الزاويتين المعطيتين ، يمكننا إيجاد الزاوية الثالثة باستخدام مفهوم أن مجموع الزوايا الثلاث في مثلث هو # 180 ^ @ أو pi #:

# (3pi) / 4 + pi / 6 + x = pi #

#x = pi - (3pi) / 4 - pi / 6 #

#x = pi - (11 نقطة في البوصة) / 12 #

#x = pi / 12 #

وبالتالي ، فإن الزاوية الثالثة هي # بي / 12 #

الآن ، دعنا نقول

# / _ A = (3pi) / 4 و / _B = pi / 6 و / _C = pi / 12 #

باستخدام شرط الجيب لدينا ،

# (Sin / _A) / a = (Sin / _B) / b = (Sin / _C) / c #

حيث a و b و c هي طول الجوانب المقابلة لـ # / _ A و / _B و / _C # على التوالي.

باستخدام مجموعة المعادلات أعلاه ، لدينا ما يلي:

#a = a ، b = (Sin / _B) / (Sin / _A) * a ، c = (Sin / _C) / (Sin / _A) * a #

#or a = a ، b = (Sin (pi / 6)) / (Sin ((3pi) / 4)) * a ، c = (Sin (pi / 12)) / (Sin ((3pi) / 4))*ا#

#rArr a = a ، b = a / (sqrt2) ، c = (a * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

الآن ، للعثور على أطول محيط ممكن للمثلث

#P = a + b + c #

على افتراض، # أ = 9 #، نحن لدينا

#a = 9 ، b = 9 / sqrt2 و c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#rArrP = 9 + 9 / (sqrt2) + (9 * (sqrt (3) - 1)) / 2 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / 2 #

#or P ~~ 18.66 #

على افتراض، # ب = 9 #، نحن لدينا

#a = 9sqrt2 ، b = 9 و c = (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#rArrP = 9sqrt2 + 9 + (9 * (sqrt (3) - 1)) / sqrt2 #

#or P = (9 (2 + sqrt 2 + sqrt 6)) / 2 #

#or P ~~ 26.39 #

على افتراض، # ج = 9 #، نحن لدينا

# أ = 18 / (sqrt3 - 1) ، ب = (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) و c = 9 #

#rArrP = 18 / (sqrt3 - 1) + (9sqrt2) / (sqrt3 - 1) + 9 #

#or P = (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #

#or P ~~ 50.98 #

لذلك ، أطول محيط ممكن للمثلث المعطى هو # (9 (1 + sqrt 2 + sqrt 3)) / (sqrt 3 - 1) #