هل sqrt21 هو الرقم الحقيقي ، العدد الرشيد ، العدد الصحيح ، العدد الصحيح ، العدد غير المنطقي؟

إجابة:

إنه رقم غير عقلاني وبالتالي حقيقي.

تفسير:

دعونا أولا نثبت ذلك #sqrt (21) # هو رقم حقيقي ، في الواقع ، الجذر التربيعي لجميع الأعداد الحقيقية الإيجابية حقيقي. إذا # # س هو رقم حقيقي ، ثم نحدده للأرقام الموجبة #sqrt (س) = "سوب" {yinRR: ص ^ 2 <= س} #. هذا يعني أننا ننظر إلى جميع الأرقام الحقيقية # ذ # مثل ذلك # ص ^ 2 <= س # واتخاذ أصغر عدد حقيقي أكبر من كل هذه # ذ #لاعبالزبون ما يسمى العليا. للأرقام السالبة ، هذه # ذ #لا وجود لها ، نظر ا لجميع الأرقام الحقيقية ، فإن أخذ مربع هذا العدد يؤدي إلى رقم موجب ، وجميع الأرقام الموجبة أكبر من الأرقام السالبة.

لجميع الأرقام الإيجابية ، هناك دائما بعض # ذ # الذي يناسب الشرط # ص ^ 2 <= س #، أي #0#. علاوة على ذلك ، هناك حد أعلى لهذه الأرقام ، وهي # س + 1 #منذ ذلك الحين # 0 <= ذ <1 #، ثم # س + 1> ذ #، إذا #Y> = 1 #، ثم #Y <= ص ^ 2 <= س #، وبالتالي # س + 1> ذ #. يمكننا أن نظهر أنه لكل مجموعة من الأعداد الحقيقية غير الفارغة المقيدة ، هناك دائم ا رقم حقيقي فريد يعمل كقوة عليا ، وذلك بسبب ما يسمى اكتمال # # RR. لذلك لجميع الأرقام الحقيقية الإيجابية # # س هناك حقيقي #sqrt (خ) #. يمكننا أيضا أن نظهر أنه في هذه الحالة #sqrt (س) ^ 2 = س #، ولكن ما لم ترغب في ذلك ، فلن أثبت ذلك هنا. أخيرا نلاحظ ذلك #sqrt (خ)> = 0 #، منذ #0# هو الرقم الذي يناسب الشرط ، كما ذكر من قبل.

الآن لعدم منطقية #sqrt (21) #. إذا لم تكن غير عقلانية (عقلانية للغاية) ، يمكننا أن نكتبها على النحو التالي #sqrt (21) = أ / ب # مع #ا# و #ب# أعداد كاملة و # أ / ب # مبسطة قدر الإمكان ، وهذا يعني ذلك #ا# و #ب# ليس لديهم القاسم المشترك ، باستثناء #1#. الآن هذا يعني ذلك # 21 = ل^ 2 / ب ^ 2 #.

الآن نستخدم شيئ ا يسمى التخصيم الأساسي للأعداد الطبيعية. هذا يعني أنه يمكننا تدوين كل رقم موجب كمنتج فريد من الأرقام الأولية. إلى عن على #21# هذا هو #3*7# ولل #ا# و #ب# هذا هو بعض المنتجات التعسفية من الأعداد الأولية # ل= A_1 *.. * a_n # و # ب = b_1 *.. * b_m #. حقيقة أن المقسوم المشترك الوحيد ل #ا# و #ب# هو #1# ما يعادل حقيقة أن #ا# و #ب# لا تشترك في الأعداد الأولية في معاملتها ، لذلك هناك # # a_i و # # b_j مثل ذلك # a_i = b_j #. هذا يعني ذاك # ل^ 2 # و # ب ^ 2 # أيضا لا تشارك أي الأعداد الأولية ، منذ ذلك الحين # ل^ 2 = A_1 A_1 * * … * * a_n a_n # و # ب ^ 2 = b_1 * * b_1 … b_m * b_m #، وبالتالي المقسوم المشترك الوحيد ل # ل^ 2 # و # ب ^ 2 # هو #1#. منذ # ل^ 2 = 21B ^ 2 #، هذا يعنى # ب ^ 2 = 1 #، وبالتالي # ب = 1 #. وبالتالي #sqrt (21) = أ #. لاحظ أن هذا يحمل فقط على افتراض أن #sqrt (21) # هو عقلاني.

الآن يمكننا بالطبع تشغيل جميع الأرقام الإيجابية كاملة أصغر من #21# وتحقق مما اذا كان تربيعهم يعطيهم #21#، ولكن هذه طريقة مملة. للقيام بذلك بطريقة أكثر إثارة للاهتمام ، نعود مرة أخرى إلى أعدادنا الأولية. نحن نعرف ذلك # ل^ 2 = A_1 A_1 * * … * * a_n a_n # و #21=3*7#، وبالتالي # 3 * 7 = A_1 A_1 * * … * * a_n a_n #. على الجانب الأيسر ، تحدث كل براعم مرة واحدة فقط ، في اليد اليمنى ، كل براعم تحدث مرتين على الأقل ، ودائما ما تكون عدة مرات (إذا # A_1 = a_n # سيكون ل instace تحدث أربع مرات على الأقل). ولكن كما ذكرنا ، هذه العوامل الأولية فريدة من نوعها ، لذلك لا يمكن أن يكون هذا صحيح ا. وبالتالي # 21nea ^ 2 #، وبالتالي #anesqrt (21) #، وهذا يعني أن افتراضنا السابق ل #sqrt (21) # كونك عقلاني ا يتضح أنه خطأ #sqrt (21) # غير عقلاني.

لاحظ أن نفس الوسيطة تحمل أي عدد صحيح موجب # # س مع عامل أولي حيث يظهر أحد الأعداد الأولية على عدد غير متساو من المرات ، نظر ا لأن مربع العدد الصحيح دائم ا لديه كل عوامله الأولية على قدر متساو من المرات. من هذا نستنتج أنه إذا # # س عدد صحيح موجب (#x inNN #) له عامل أولي يحدث فقط على مقدار غير متساو من المرات ، #sqrt (خ) # سيكون غير عقلاني.

أدرك أن هذا الدليل قد يبدو طويلا بعض الشيء ، لكنه يستخدم مفاهيم مهمة في الرياضيات. ربما في أي منهج ثانوي ، لا يتم تضمين هذا النوع من الأسباب (لست متأكد ا بنسبة 100٪ ، وأنا لا أعرف المناهج الدراسية لكل مدرسة ثانوية في العالم) ، لكن بالنسبة إلى علماء الرياضيات الفعلي ، فإن إثبات الأشياء هو أحد أهم الأنشطة التي يقومون بها. لذلك أردت أن أوضح لك أي نوع من الرياضيات وراء اتخاذ الجذر التربيعي للأشياء. ما تحتاج إلى أن تأخذ بعيدا عن هذا ، هو ذلك حقا #sqrt (21) # هو رقم غير منطقي.