ماذا يخبرك اختبار المشتق الثاني عن سلوك f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 في هذه الأرقام المهمة؟

إجابة:

اختبار الاشتقاق الثاني يعني أن العدد الحرج (النقطة) # س = 4/7 # يعطي الحد الأدنى المحلي ل #F# في حين لا تقول شيئا عن طبيعة #F# بالأرقام الحرجة (النقاط) # س = 0،1 #.

تفسير:

إذا # F (س) = س ^ 4 (س-1) ^ 3 #، ثم تقول قاعدة المنتج

# F '(س) = 4X ^ 3 (س-1) ^ 3 + س ^ 4 * 3 (س-1) ^ 2 #

# = س ^ 3 * (خ-1) ^ 2 * (4 (س-1) + 3X) #

# = س ^ 3 * (خ-1) ^ 2 * (7X-4) #

وضع هذا يساوي الصفر وحل ل # # س يعني ذلك #F# لديه أرقام حرجة (نقاط) في # س = 0،4 / 7،1 #.

باستخدام قاعدة المنتج يعطي مرة أخرى:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

الآن # F '(0) = 0 #, # F '' (1) = 0 #و # F '(4/7) = 576/2401> 0 #.

اختبار الاشتقاق الثاني يعني أن العدد الحرج (النقطة) # س = 4/7 # يعطي الحد الأدنى المحلي ل #F# في حين لا تقول شيئا عن طبيعة #F# بالأرقام الحرجة (النقاط) # س = 0،1 #.

في الواقع ، الرقم الحرج (نقطة) في # س = 0 # يعطي الحد الأقصى المحلي ل #F# (يعتبر اختبار المشتق الأول قوي ا بدرجة كافية بحيث يشير إلى ذلك ، على الرغم من أن اختبار المشتق الثاني لم يقدم أي معلومات) والرقم الحرج (النقطة) في # س = 1 # يعطي لا حد أقصى المحلية ولا دقيقة ل #F#، ولكن (نقطة أحادية) "نقطة السرج".