كيف يمكنك دمج int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt؟

إجابة:

إستخدم # ش #استبدال للحصول على # -3lnabs (سرير (ر)) + C #.

تفسير:

أولا ، لاحظ أن ل #3# هو ثابت ، يمكننا سحبها من جزء لا يتجزأ لتبسيط:

# 3int (ديوان الخدمة المدنية ^ 2 (ر)) / سرير (ر) دينارا #

الآن - وهذا هو الجزء الأكثر أهمية - لاحظ أن مشتق من #cot (ر) # هو # -csc ^ 2 (ر) #. نظر ا لأن لدينا وظيفة ومشتق لها في نفس التكامل ، يمكننا تطبيق أ # ش # استبدال مثل هذا:

# ش = المهد (ر) #

# (دو) / دينارا = -csc ^ 2 (ر) #

# دو = -csc ^ 2 (ر) دينارا #

يمكننا تحويل الإيجابية # ديوان الخدمة المدنية ^ 2 (ر) # إلى سلبية مثل هذا:

# -3int (-csc ^ 2 (ر)) / سرير (ر) دينارا #

وتطبيق البديل:

# -3int (دو) / ش #

نحن نعرف ذلك #int (دو) / ش = lnabs (ش) + C #، لذلك يتم تقييم لا يتجزأ. نحتاج فقط إلى عكس البديل (أعد الإجابة من حيث # ر #) وإرفاق ذلك #-3# إلى النتيجة. منذ # ش = المهد (ر) #، يمكننا أن نقول:

# -3 (lnabs (ش) + C) = - 3lnabs (سرير (ر)) + C #

و هذا كل شيء.

إجابة:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

تفسير:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

تذكر ذلك

#Sin 2t = 2sint * cost #

وبالتالي

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

كما يمكننا أن نجد في جدول التكاملات

(على سبيل المثال جدول التكاملات التي تحتوي على Csc (الفأس) في SOS Math):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

نحصل على هذه النتيجة

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #