كيف يمكنك دمج int sec ^ -1x من خلال التكامل حسب طريقة الأجزاء؟

إجابة:

الجواب هو # = س "قوس" secx-قانون الجنسية (س + الجذر التربيعي (س ^ 2-1)) + C #

تفسير:

نحن نحتاج

# (ثانية ^ -1X) '= ("قوس" secx)' = 1 / (xsqrt (س ^ 2-1)) #

# intsecxdx = قانون الجنسية (الجذر التربيعي (س ^ 2-1) + س) #

التكامل من جانب أجزاء هو

# intu'v = الأشعة فوق البنفسجية intuv '#

لدينا هنا

# ش '= 1 #, #=>#, # ش = س #

# ت = "قوس" secx #, #=>#, # الخامس '= 1 / (xsqrt (س ^ 2-1)) #

وبالتالي،

#int "قوس" secxdx = س "قوس" secx-الباحث (DX) / (الجذر التربيعي (س ^ 2-1)) #

أداء الثاني لا يتجزأ عن طريق الاستبدال

سمح # س = SECU #, #=>#, # DX = secutanudu #

#sqrt (س ^ 2-1) = الجذر التربيعي (ثانية ^ 2U-1) = TANU #

# intdx / الجذر التربيعي (س ^ 2-1) = كثافة العمليات (secutanudu) / (TANU) = intsecudu #

# = كثافة العمليات (SECU (SECU + TANU) دو) / (SECU + TANU) #

# = int ((sec ^ 2u + secutanu) du) / (secu + tanu) #

سمح # ت = SECU + TANU #, #=>#, # DV = (ثانية ^ 2U + secutanu) دو #

وبالتالي،

# intdx / الجذر التربيعي (س ^ 2-1) = كثافة العمليات (DV) / (ت) = LNV #

# = قانون الجنسية (SECU + TANU) #

# = قانون الجنسية (س + الجذر التربيعي (س ^ 2-1)) #

أخيرا،

#int "قوس" secxdx = س "قوس" secx-قانون الجنسية (س + الجذر التربيعي (س ^ 2-1)) + C #

إجابة:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

تفسير:

بدلا من ذلك ، يمكننا استخدام صيغة غير معروفة للعمل على تكاملات الوظائف العكسية. تنص الصيغة:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

أين # و ^ -1 (خ) # هو معكوس # F (خ) # و # F (خ) # هو مضاد مشتق من # F (خ) #.

في حالتنا ، نحصل على:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

الآن كل ما نحتاج إلى القيام به هو مكافحة المشتقات #F#، والذي هو جزء لا يتجزأ مألوف:

#int sec (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

توصيل هذا مرة أخرى في الصيغة يعطي جوابنا النهائي:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

نحن بحاجة إلى توخي الحذر بشأن التبسيط #tan (ثانية ^ -1 (س)) # إلى #sqrt (س ^ 2-1) # لأن الهوية صالحة فقط إذا # # س هو إيجابي. ومع ذلك ، نحن محظوظون ، لأنه يمكننا إصلاح ذلك عن طريق وضع قيمة مطلقة على المصطلح الآخر داخل اللوغاريتم. هذا أيض ا يلغي الحاجة إلى القيمة المطلقة الأولى ، لأن كل شيء داخل اللوغاريتم سيكون دائم ا إيجابي ا:

# xsec ^ -1 (س) -ln (| س | + الجذر التربيعي (س ^ 2-1)) + C #