ما هو نطاق y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1)؟

أولا دعنا نفكر في المجال:

لماذا قيم # # س هي وظيفة محددة؟

البسط # (1-س) ^ (1/2) # يتم تعريف فقط عندما # (1-x)> = 0 #. مضيفا # # س لكلا الجانبين من هذا تجد #x <= 1 #.

نطلب أيض ا أن يكون المقام غير صفري.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # هو صفر عندما #x = -1 / 2 # وعندما #x = -1 #.

وبالتالي فإن مجال الوظيفة هو

# {x في RR: x <= 1 و x! = -1 و x! = -1/2} #

حدد #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # في هذا المجال.

دعنا نفكر في كل فاصل مستمر في المجال بشكل منفصل:

في كل حالة ، دعونا #epsilon> 0 # أن يكون عدد إيجابي صغير.

الحالة (أ): #x <-1 #

للقيم السلبية الكبيرة لل # # س, # F (خ) # هو صغير وإيجابي.

في الطرف الآخر من هذا الفاصل ، إذا #x = -1 - إبسيلون # ثم

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # مثل #epsilon -> 0 #

وذلك ل #x <-1 # مدى ال # F (خ) # هو # (0، + oo) #

الحالة (ب): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # مثل #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

وذلك ل # -1 / 2 <x <= 1 # مدى ال # F (خ) # هو # 0، + oo) #

الحالة (ج): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # مثل #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # مثل #epsilon -> 0 #

لذا فإن السؤال المثير للاهتمام هو ما هي القيمة القصوى لل # F (خ) # في هذا الفاصل الزمني. للعثور على قيمة # # س الذي يحدث هذا ابحث عن المشتق ليكون صفر.

# د / (DX) و (خ) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3X + 1) ^ (- 2) س س (4X + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2X ^ 2 + 3X + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2X ^ 2 + 3X + 1) ^ 2 #

سيكون هذا صفرا عندما يكون البسط صفرا ، لذلك نود أن نحل:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

اضرب خلال # 2 (1-س) ^ (1/2) # للحصول على:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

هذا هو:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

التي لديها جذور # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

من هذه الجذور ، #x = (5 قدم مربع (194)) / 12 # يقع في الفاصل المعني.

استبدال هذا مرة أخرى إلى # F (خ) # للعثور على الحد الأقصى من #f (x) في هذا الفاصل (حوالي -10).

هذا يبدو أكثر تعقيدا بالنسبة لي. هل ارتكبت أي أخطاء؟

إجابة: نطاق الوظيفة هو # (- oo، -10.58 uu 0، oo) #

إلى عن على #x في (-oo ، -1) # #-># #y in (0، oo) #

إلى عن على # x في (-1 ، -0.5) # #-># #y in (-oo ، -10.58 #

إلى عن على #x في (-0.5 ، 1 # #-># #y في 0 ، oo) #