ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1)؟

إجابة:

تفسير:

نحن لدينا:

# f (x، y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

الخطوة 2 - تحديد النقاط الحرجة

نقطة حرجة يحدث في وقت واحد من حل

# f_x = f_y = 0 iff (جزئي f) / (جزئي x) = (جزئي f) / (جزئي y) = 0 #

أي عندما:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. ا

حل A و B في وقت واحد ، نكتسب حل واحد:

# س = ص = 1 #

لذلك يمكننا أن نستنتج أن هناك نقطة حاسمة واحدة:

# (1,1) #

الخطوة 3 - تصنيف النقاط الحرجة

من أجل تصنيف النقاط الحرجة ، نجري اختبار ا مشابه ا لاختبار حساب التفاضل والتكامل المتغير باستخدام المشتقات الجزئية الثانية ومصفوفة هيسيان.

# Delta = H f (x، y) = | (f_ (x x) f_ (xy)) ، (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي x ^ 2) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئي x جزئي y)) ، ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي y جزئي x) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئية y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

ثم اعتمادا على قيمة # دلتا #:

# {: (Delta> 0 ، "هناك حد أقصى إذا كان" f_ (xx) <0) ، (، "والحد الأدنى إذا كان" f_ (xx)> 0) ، (Delta <0 ، "هناك نقطة سرج")) ، (دلتا = 0 ، "مزيد من التحليل ضروري"):} #

باستخدام وحدات ماكرو excel المخصصة ، يتم حساب قيم الدوال إلى جانب القيم المشتقة الجزئية على النحو التالي: