إجابة:
تفسير:
نحن لدينا:
# f (x، y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #
الخطوة 2 - تحديد النقاط الحرجة
نقطة حرجة يحدث في وقت واحد من حل
# f_x = f_y = 0 iff (جزئي f) / (جزئي x) = (جزئي f) / (جزئي y) = 0 #
أي عندما:
حل A و B في وقت واحد ، نكتسب حل واحد:
# س = ص = 1 #
لذلك يمكننا أن نستنتج أن هناك نقطة حاسمة واحدة:
# (1,1) #
الخطوة 3 - تصنيف النقاط الحرجة
من أجل تصنيف النقاط الحرجة ، نجري اختبار ا مشابه ا لاختبار حساب التفاضل والتكامل المتغير باستخدام المشتقات الجزئية الثانية ومصفوفة هيسيان.
# Delta = H f (x، y) = | (f_ (x x) f_ (xy)) ، (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي x ^ 2) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئي x جزئي y)) ، ((جزئي ^ 2 f) / (جزئي y جزئي x) ، (جزئي ^ 2 f) / (جزئية y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
ثم اعتمادا على قيمة
# {: (Delta> 0 ، "هناك حد أقصى إذا كان" f_ (xx) <0) ، (، "والحد الأدنى إذا كان" f_ (xx)> 0) ، (Delta <0 ، "هناك نقطة سرج")) ، (دلتا = 0 ، "مزيد من التحليل ضروري"):} #
باستخدام وحدات ماكرو excel المخصصة ، يتم حساب قيم الدوال إلى جانب القيم المشتقة الجزئية على النحو التالي:
ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = x ^ 3y + 36x ^ 2 - 8y؟
راجع الإجابة أدناه: الائتمانات: بفضل Graphing Calculator 3D (http://www.runiter.com/graphing-calculator/) الذي قدم البرنامج لرسم الوظائف ثلاثية الأبعاد بالنتائج.
ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x) = 2x ^ 2 lnx؟
مجال تعريف: f (x) = 2x ^ 2lnx هو الفاصل x في (0، + oo). تقييم المشتقات الأولى والثانية للدالة: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx النقاط الأساسية هي الحلول: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 و x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) في هذه النقطة: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0 وبالتالي فإن النقطة الحرجة هي الحد الأدنى المحلي. نقاط السرج هي حلول: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 وبما أن f '' (x) تزداد رتابة ، يمكننا استنتاج أن f (x ) مقعر للأسفل بالنسبة إلى x <1 / e ^ 6 و مقعر للأ
ما هي النقاط القصوى والسرج لـ f (x، y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x؟
لا تحتوي هذه الوظيفة على نقاط ثابتة (هل أنت متأكد من أن f (x، y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x هي التي تريد أن تدرسها ؟!). وفق ا للتعريف الأكثر انتشار ا لنقاط السرج (النقاط الثابتة التي ليست خارج النطاق) ، فأنت تبحث عن النقاط الثابتة للدالة في مجالها D = (x، y) في RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0 ، ص) في RR ^ 2}. يمكننا الآن إعادة كتابة التعبير المعطى لـ f بالطريقة التالية: f (x، y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x طريقة التعرف عليها هي البحث عن النقاط التي تبطل تدرج f ، وهو متجه المشتقات الجزئية: nabla f = ((del f) / (del x) و (del f) / (del y)) نظر ا لأن النطاق هو مجموعة مفتوحة ، لا نحتاج إلى البحث ل extrema في نهاية المطاف