ما هي الحلول لـ (z-1) ^ 3 = 8i؟

إجابة:

#z في {sqrt (3) + 1 + i ، -sqrt (3) + 1 + i ، 1-2i} #

تفسير:

لهذه المشكلة ، سوف نحتاج إلى معرفة كيفية العثور على # ن ^ "ال" # جذور عدد معقد. للقيام بذلك ، سوف نستخدم الهوية

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

بسبب هذه الهوية ، يمكننا تمثيل أي عدد معقد كـ

# a + bi = Re ^ (itheta) # أين #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # و #theta = arctan (b / a) #

الآن سوف نذهب إلى الخطوات لإيجاد # 3 ^ "الثالثة" # جذور عدد معقد # على + ثنائي #. خطوات العثور على # ن ^ "ال" # جذور متشابهة.

معطى # a + bi = Re ^ (itheta) # نحن نبحث عن جميع الأرقام المعقدة # ض # مثل ذلك

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

مثل # ض # هو رقم معقد ، يوجد # # R_0 و # # theta_0 مثل ذلك

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

ثم

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

من هذا ، لدينا على الفور # R_0 = R ^ (1/3) #. قد نساوي أيضا الأس # ه #، ولكن مع ملاحظة أن جيب التمام وجيب التمام هي دورية مع فترة # # 2pi، ثم من الهوية الأصلية ، # ه ^ (itheta) # سيكون كذلك. إذن لدينا

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # أين #k في ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # أين #k في ZZ #

ومع ذلك ، كما لو واصلنا مضيفا # # 2pi مرار ا وتكرار ا ، سننتهي بنفس القيم ، يمكننا تجاهل القيم الزائدة عن طريق إضافة التقييد # theta_0 في 0 ، 2 نقطة في البوصة) #، هذا هو، # ك في {0 ، 1 ، 2} #

بوضع كل ذلك معا ، نحصل على مجموعة الحلول

#z في {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3) ، R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3) ، R ^ (1/3) e ^ (ط (ثيتا + 4pi) / 3)} #

قد نقوم بتحويل هذا إلى # على + ثنائي # شكل إذا رغبت في ذلك باستخدام الهوية

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

تطبيق ما سبق على المشكلة المطروحة:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

باستخدام العملية المذكورة أعلاه ، يمكننا أن نجد # 3 ^ "الثالثة" # جذور #أنا#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) في {e ^ (ipi / 6) ، e ^ (i (5pi) / 6) ، e ^ (i (3pi) / 2) } #

تطبيق # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # نحن لدينا

# i ^ (1/3) في {sqrt (3) / 2 + i / 2 ، -sqrt (3) / 2 + i / 2 ، -i} #

وأخيرا ، نحن بديل في هذه القيم ل #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z في {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1 ، 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1 ، 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i ، -sqrt (3) + 1 + i ، 1-2i} #