إجابة:
تفسير:
معطى:
# س ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0 #
لاحظ أن هذا فعال من الدرجة الثانية
# (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0 #
يمكننا معالجة هذا للعثور على:
# 0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9) #
كل من العوامل الرباعية المتبقية هو اختلاف المربعات ، لذلك يمكننا استخدام:
# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #
لايجاد:
# x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) #
# x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3) (x ^ 2 + 3) #
ستعمل العوامل التربيعية المتبقية جميع ا على اعتبارها اختلافات في المربعات أيض ا ، لكننا نحتاج إلى استخدام معاملات غير منطقية و / أو معقدة للقيام ببعضها::
# x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 = (x-1) (x + 1) #
# x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i) #
# x ^ 2-3 = x ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2 = (x-sqrt (3)) (x + sqrt (3)) #
# x ^ 2 + 3 = x ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 = (x-sqrt (3) i) (x + sqrt (3) i) #
ومن هنا فإن أصفار كثير الحدود الأصلية ذات الشكل الثماني هي:
#x = + -1 ، + -i ، + -sqrt (3) ، + -sqrt (3) i #