السؤال رقم 53a2b + مثال

إجابة:

هذا التعريف للمسافة ثابت تحت تغيير الإطار بالقصور الذاتي ، وبالتالي له معنى مادي.

تفسير:

يتم إنشاء مساحة Minkowski لتكون مساحة 4-الأبعاد مع إحداثيات المعلمات # (x_0، X_1، x_2، x_3، x_4) #، حيث نقول عادة # x_0 = ط م #. في صميم النسبية الخاصة ، لدينا تحولات لورنتز ، والتي هي تحويلات من إطار بالقصور الذاتي إلى آخر والتي تترك سرعة الضوء ثابتة. لن أخوض في الاشتقاق الكامل لتحولات لورنتز ، إذا كنت تريد مني أن أشرح ذلك ، فقط أسأل وسأذهب إلى مزيد من التفاصيل.

المهم هو ما يلي. عندما ننظر إلى الفضاء الإقليدي (المساحة التي لدينا فيها التعريف العادي للطول الذي اعتدنا عليه # س ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #) ، لدينا بعض التحولات. التناوب المكاني والترجمات والمرايا. إذا قمنا بحساب المسافة بين نقطتين في أطر مرجعية مختلفة متصلة بهذه التحولات ، نجد أن المسافة هي نفسها. هذا يعني أن المسافة الإقليدية ثابتة في ظل هذه التحولات.

الآن نحن نمد هذه الفكرة إلى الفضاء الزماني ثلاثي الأبعاد. قبل نظرية أينشتاين للنسبية الخاصة ، قمنا بتوصيل الإطارات بالقصور الذاتي عن طريق تحولات الجليلي ، والتي حلت للتو محل إحداثيات مكانية # # x_i بواسطة # x_i-v_it # إلى عن على #iin {1،2،3} # أين #السادس# هي سرعة المراقب في #أنا# الاتجاه بالنسبة للإطار الأصلي. هذا التحول لم يترك سرعة الضوء ثابتة ، لكنه ترك المسافة التي يسببها عنصر الخط # س ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #، ببساطة لأنه لا يوجد تغيير في تنسيق الوقت ، لذلك الوقت مطلق.

ومع ذلك ، فإن التحول الجليلي لا يصف بدقة تحويل إطار بالقصور الذاتي إلى آخر ، لأننا نعرف أن سرعة الضوء ثابتة في ظل تحولات إحداثية مناسبة. لذلك قدمنا التحول لورنتز. المسافة الإقليدية الممتدة إلى وقت فراغ 4-dim كما هو مذكور أعلاه ليست ثابتة في ظل هذا التحول لورنتز ، ومع ذلك ، فإن المسافة الناجمة عن # س ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # هو ، والذي نسميه المسافة المناسبة. وعلى الرغم من أن هذه المسافة الإقليدية التي تحمل فيها نظرية فيثاغورس هي بنية رياضية لائقة تمام ا على الفضاء الخافت 4 ، إلا أنها لا تحمل أي معنى مادي ، حيث إنها تعتمد على المراقب.

المسافة الصحيحة لا تعتمد على المراقب ، وبالتالي يمكننا إعطائها المعنى المادي ، ويتم ذلك عن طريق ربط مجموعة من خط العالم من خلال مساحة Minkowski باستخدام هذه المسافة إلى الوقت المنقضي الذي لاحظه كائن يسافر على طول هذا العالم. لاحظ أننا إذا تركنا الوقت ثابت ا ، فإن نظرية فيثاغورس لا تزال معلقة في الإحداثيات المكانية.

التحرير / التفسير الإضافي:

لقد سألني السؤال الأصلي عن هذا السؤال: "شكر ا ، لكن هل يمكن أن تشرحي الفقرتين الأخيرتين أكثر قليلا. في كتاب رأيته كان لديهم # ق ^ 2 = س ^ 2- (ط) ^ 2 #. يرجى توضيح "في الجوهر ما لدينا هنا هو إصدار ثنائي الأبعاد لما وصفته أعلاه. لدينا وصف لوقت الفراغ بمرة واحدة وبعد مسافة واحد. على هذا ، نحدد مسافة أو أكثر دقة (مسافة من الأصل إلى حد ما) # ق # باستخدام الصيغة # ق ^ 2 = س ^ 2- (ط) ^ 2 # أين # # س هو تنسيق المكاني و # ر # الإحداثي الزمني.

ما فعلته أعلاه كان نسخة ثلاثية الأبعاد من هذا ، لكن الأهم من ذلك أنني استخدمت # (س) ^ 2 # بدلا من # ق ^ 2 # (لقد أضفت أقواس لتوضيح ما هو مربع). دون الخوض في تفاصيل الهندسة التفاضلية أكثر من اللازم ، إذا كان لدينا خط يربط نقطتين في الفضاء ، # # س هو طول قطعة صغيرة من الخط ، يسمى عنصر السطر. عبر إصدار ثنائي الأبعاد لما كتبت أعلاه ، لدينا # س ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #الذي يربط طول هذه القطعة الصغيرة بالتغيير الصغير في الإحداثيات. لحساب المسافة من الأصل إلى نقطة # x_0 = لذلك، X_1 = ب # في الزمان ، نحسب طول الخط المستقيم الذي ينتقل من الأصل إلى تلك النقطة ، ويعطى هذا الخط # x_0 = و/ bx_1 # أين # x_1in 0، ب #، لاحظنا ذلك # dx_0 = و/ bdx_1 #، وبالتالي # س ^ 2 = (1-أ ^ 2 / ب ^ 2) dx_1 ^ 2 #، وبالتالي # س = الجذر التربيعي (1-أ ^ 2 / ب ^ 2) dx_1 #، والتي يمكننا دمج ، العطاء # ق = int_0 ^ bsqrt (1-أ ^ 2 / ب ^ 2) = dx_1 bsqrt (1-أ ^ 2 / ب ^ 2) = الجذر التربيعي (ب ^ 2 واحد ^ 2) #.

وبالتالي # ق ^ 2 = ب ^ 2 واحد ^ 2 = X_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = س ^ 2- (ط) ^ 2 # في # (ر، خ) # ينسق.

وبالفعل فإن ما كتبته أعلاه يعطي ما تقرأه في الكتاب. ومع ذلك ، يسمح لك إصدار عنصر الخط بحساب طول أي خط ، وليس فقط الخطوط المستقيمة. القصة حول التحول لورنتز لا يزال قائما ، هذه القاعدة # ق # هو ثابت تحت تغيير الإطار المرجعي ، في حين # س ^ 2 + (ط) ^ 2 # ليس.

حقيقة أن نظرية فيثاغورس لا تصمد ليست مفاجئة. نظرية فيثاغورس يحمل في الهندسة الإقليدية. هذا يعني أن المساحة التي تعمل فيها مسطحة. مثال على المساحات غير المسطحة هو سطح الكرة. عندما ترغب في العثور على المسافة بين نقطتين على هذا السطح ، فإنك تأخذ طول أقصر مسار على هذا السطح يربط هاتين النقطتين. إذا كنت تريد بناء مثلث قائم على هذا السطح ، والذي سيكون مختلف ا تمام ا عن مثلث في مساحة الإقليدية ، نظر ا لأن الخطوط لن تكون مستقيمة ، فإن نظرية فيثاغورس لا تصمد بشكل عام.

ميزة أخرى مهمة للهندسة الإقليدية هي أنه عندما تضع نظام إحداثي على هذا الفضاء ، فإن كل إحداثي يؤدي نفس الدور. يمكنك تدوير المحاور وينتهي به نفس الهندسة. في هندسة Minkowski أعلاه ، ليس لكل الإحداثيات نفس الدور ، لأن محاور الوقت لها علامة ناقص في المعادلات والبعض الآخر ليس لها. إذا لم تكن هناك علامة الطرح هذه ، فسيكون للوقت والمكان دور مماثل في الزمان ، أو على الأقل في الشكل الهندسي. لكننا نعرف أن المكان والزمان ليسا متماثلين.