أوجد مساحة المنطقة المظللة؟

إجابة:

من فضلك، انظر بالأسفل.

تفسير:

عندما نتعلم أولا إيجاد المناطق عن طريق التكامل ، فإننا نأخذ المستطيلات التمثيلية رأسيا.

المستطيلات لها قاعدة # DX # (تغيير بسيط في # # س) والارتفاعات تساوي أكبر # ذ # (واحد على المنحنى العلوي) ناقص أقل # ذ # القيمة (واحد على المنحنى السفلي). ثم ندمج من الأصغر # # س قيمة إلى أعظم # # س القيمة.

لهذه المشكلة الجديدة ، يمكننا استخدام اثنين من intergrals (انظر إجابة Jim S) ، ولكن من المفيد للغاية تعلم كيفية تحويل تفكيرنا #90^@#.

سنتخذ المستطيلات التمثيلية horiontally.

المستطيلات لها ارتفاع # دى # (تغيير بسيط في # ذ #) وقواعد مساوية للأكبر # # س (واحد على أقصى اليمين منحنى) ناقص أقل # # س القيمة (واحد على منحنى أقصى اليسار). ثم ندمج من الأصغر # ذ # قيمة إلى أعظم # ذ # القيمة.

لاحظ الازدواجية

# {:("عمودي" ، iff ، "أفقي") ، (dx ، iff ، dy) ، ("العلوي" ، iff ، "أقصى اليمين") ، ("السفلي" ، iff ، "أقصى اليسار") ، (x ، iff ، y):} #

عبارة "من الأصغر # # س قيمة إلى أعظم # # س القيمة. "تشير إلى أننا ندمج من اليسار إلى اليمين. (في اتجاه الزيادة # # س القيم.)

عبارة "من الأصغر # ذ # قيمة إلى أعظم # ذ # القيمة. "تشير إلى أننا ندمج من أسفل إلى أعلى. (في اتجاه الزيادة # ذ # القيم.)

فيما يلي صورة للمنطقة مع وجود مستطيل صغير مبين:

المنطقة هي

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

إجابة:

مساحة المنطقة المظللة # 1M ^ 2 #

تفسير:

# س = 1 / ص ^ 2 #

# ص ^ 2 = 1 / س #

# ذ = sqrtx / س # (يمكننا أن نرى من الرسم البياني)

# sqrtx / س = س # #<=># # س ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# س ^ 4 س = 0 # #<=># # ضعف (س ^ 3-1) = 0 # #<=># # س = 1 # (يمكننا أن نرى أيضا من الرسم البياني)

واحدة من العديد من الطرق التي يمكن التعبير عنها في المنطقة المظللة يمكن أن تكون مثلث المنطقة # AhatOB = Ω # باستثناء منطقة سماوي التي سأتصل بها #COLOR (السماوي) (Ω_3) #

سمح #Ω_1# تكون المنطقة السوداء الموضحة في الرسم البياني و #COLOR (الأخضر) (Ω_2) # المنطقة الخضراء المبينة في الرسم البياني.

مساحة المثلث الصغير # ChatAD = # #COLOR (الأخضر) (Ω_2) # سوف يكون:

• #COLOR (الأخضر) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2M ^ 2 #

# sqrtx / س = 2 # #<=># # sqrtx = 2X # #<=># # س = 4X ^ 2 #

#<=># # س = 1/4 #

منطقة #Ω_1# سوف يكون:

#int_ (1/4) ^ 1 (2-sqrtx / خ) DX = 2 س _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-الجذر التربيعي (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2M ^ 2 #

نتيجة لذلك ، ستكون المنطقة المظللة

• #Ω_1## + اللون (الأخضر) (Ω_2) ## = 1/2 + 02/01 = 1M ^ 2 #