تثبت أن المساحة المظللة باللون الأرجواني تساوي مساحة الدائرة حول المثلث متساوي الأضلاع (دائرة صفراء مخططة)؟

إجابة:

تفسير:

منطقة incircle هو # البير ^ 2 #.

مشيرا إلى المثلث الأيمن مع انخفاض التوتر # R # والساق # ص # في قاعدة المثلث متساوي الأضلاع ، من خلال علم المثلثات أو خصائص #30 -60 -90 # المثلثات الصحيحة يمكننا إقامة العلاقة التي # R = 2R #.

لاحظ أن الزاوية المعاكسة # ص # هو #30 # منذ المثلث متساوي الاضلاع #60 # كانت زاوية تشريح.

يمكن حل هذا المثلث نفسه من خلال نظرية فيثاغورس لإظهار أن نصف طول الجانب للمثلث متساوي الأضلاع هو #sqrt (R ^ 2-ص ^ 2) = الجذر التربيعي (4R ^ 2-ص ^ 2) = rsqrt3 #.

الآن دراسة نصف المثلث متساوي الأضلاع مثلث الأيمن ، ونحن نرى أن الارتفاع # ح # من المثلث متساوي الاضلاع يمكن حلها من حيث # ص # باستخدام العلاقة #tan (60) = ح / (rsqrt3) #. منذ #tan (60) = sqrt3 #، هذا يصبح # ح / (rsqrt3) = sqrt3 # وبالتالي # ح = 3R #.

مجال المثلث متساوي الأضلاع هو ثم # 1 / 2BH #وقاعدته # # 2rsqrt3 وارتفاعه # # 3R. وبالتالي ، مجالها هو # 1/2 (2rsqrt3) (3R) = 3R ^ 2sqrt3 #.

مساحة المنطقة المظللة الأصغر تساوي ثلث مساحة المثلث متساوي الأضلاع ناقص ، أو # 1/3 (3R ^-2sqrt3 البير ^ 2) # وهو ما يعادل # ص ^ 2 ((3sqrt3-بي) / 3) #.

مساحة الدائرة الأكبر هي # بير ^ 2 = بي (2R) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

مساحة المنطقة المظللة الأكبر هي ثلث مساحة الدائرة الأكبر مطروحا منها مساحة المثلث متساوي الأضلاع ، أو # 1/3 (4pir ^ ^ 2-3r 2sqrt3) # الذي يبسط أن يكون # ص ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

المساحة الكلية للمنطقة المظللة هي بعد ذلك # ص ^ 2 ((3sqrt3-بي) / 3) + ص ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = ص ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-بي + 4pi) / 3) = ص ^ 2 ((3pi) / 3) = البير ^ 2 #، وهو ما يعادل مساحة incircle.

إجابة:

تفسير:

لمثلث متساوي الأضلاع مركز الثقل ، مركز محيط الدائرة و orthocenter يتزامن.

لذلك سيكون لنصف قطر دائرة cicumcircle (R) ونصف قطر دائرة incircle (r) العلاقة التالية

# R: ص = 2: 1 => R = 2R #

الآن من الرقم فمن الواضح أن مساحة كبيرة من المنطقة المظللة الأرجواني# = 1/3 (بير ^ 2-دلتا) #

و منطقة صغيرة مظللة الأرجواني المنطقة# = 1/3 (دلتا-بير ^ 2) #

أين # دلتا # يمثل مساحة المثلث متساوي الأضلاع.

وبالتالي

#color (purple) ("TOTAL area of the BIG and SMALL purple shaded region" #

# = 1/3 (بير ^ 2-دلتا) +1/3 (دلتا-بير ^ 2) #

# = 1/3 (بير ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-بير ^ 2) #

إدخال R = 2r

# = 1/3 (بي (2R) ^ 2-بير ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-بير ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> لون (برتقالي) "مساحة دائرة مخططة صفراء" #