يرجى توضيح ، هذا هو التحول الخطي أم لا؟

إجابة:

انظر أدناه

تفسير:

و trasformation #T: V إلى W # يقال أنه خطي إذا كان لديه الخصائص التالية اثنين:

• #T (V_1 + v_2) = T (V_1) + T (v_2) # لكل # v_1 ، v_2 in V #
• #T (السيرة الذاتية) = ط م (ت) # لكل #v in V # وكل عددي # ج #

لاحظ أن الخاصية الثانية يفترض ذلك #الخامس# مضمن مع عمليتين من الضرب المجموعي والعددى. في حالتنا ، يكون المجموع هو المجموع بين كثير الحدود ، والضرب هو الضرب بأعداد حقيقية (أفترض).

عندما تستمد كثير الحدود فإنك تخفض درجتها #1#، إذا كان لديك اشتقاق متعدد الحدود من الدرجة #4# مرتين ، سوف تحصل على درجة متعددة الحدود #2#. لاحظ أنه عندما نتحدث عن مجموعة كل الحدود متعددة الدرجات الأربع ، فإننا نعني في الواقع مجموعة كل الحدود متعددة الدرجات في الغالب أربعة. في الواقع ، درجة عامة أربعة كثير الحدود هو

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

إذا كنت تريد درجة اثنين متعدد الحدود # 3 + 6X-5X ^ 2 #، على سبيل المثال ، اخترت ببساطة

# a_0 = 3 ، a_1 = 6 ، a_2 = -5 ، a_3 = a_4 = 0 #

مع ما يقال ، دعنا نحدد الفضاء متعدد الحدود للدرجة # ن # مع # # P_n، وتحديد المشغل لدينا #T: P_4 إلى P_2 # مثل ذلك #T (f (x)) = f '' (x) #

دعنا نثبت الخاصية الأولى: لنفترض أن لدينا كثيرات الحدود

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

و

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

هذا يعني ذاك # p_1 + p_2 # يساوي

# (a_0 + b_0) + (A_1 + b_1) س + (a_2 + b_2) س ^ 2 + (a_3 + b_3) س ^ 3 + (a_4 + b_4) س ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # هو المشتق الثاني من هذا كثير الحدود ، لذلك هو

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) س + 12 (a_4 + b_4) س ^ 2 #

(لقد طبقت مرتين قاعدة القدرة على الاشتقاق: المشتق الثاني من # س ^ ن # هو # N (ن 1) س ^ {ن 2} #)

الآن دعنا نحسب #T (p_1) #، أي المشتق الثاني من # # p_1:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

وبالمثل، #T (p_2) #، أي المشتق الثاني من # # p_2، هو

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

إذا لخصت هذا التعبير ، يمكنك أن ترى أن لدينا

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

يتم عرض الخاصية الثانية بطريقة مماثلة: بالنظر إلى كثير الحدود

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

لدينا ، لأي عدد حقيقي # ج #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

مشتقه الثاني هو هكذا

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

وهو مرة أخرى هو نفس الحوسبة #T (ع) #، ثم اضرب كل شيء # ج #، أي #T (حزب المحافظين) = ط (ع) #