الجانب الأكبر من المثلث الأيمن هو ^ 2 + b ^ 2 والجانب الآخر هو 2ab. ما الحالة التي تجعل الجانب الثالث هو أصغر جانب؟

إجابة:

لكي يكون الطرف الثالث هو الأقصر ، فإننا نطلب ذلك # (1 + sqrt2) | ب |> عبسة> absb # (وذلك #ا# و #ب# لديهم نفس علامة).

تفسير:

الجانب الأطول من المثلث الأيمن هو دائم ا التنويم المغناطيسي. لذلك نحن نعرف طول طول الوتر هو # ل^ 2 + ب ^ 2. #

دع طول الجانب غير معروف # ج # ثم من نظرية فيثاغورس ، نحن نعرف

# (2AB) ^ 2 + ج ^ 2 = (أ ^ 2 + ب ^ 2) ^ 2 #

أو

# ج = الجذر التربيعي ((أ ^ 2 + ب ^ 2) ^ 2- (2AB) ^ 2) #

#COLOR (أبيض) ج = الجذر التربيعي (أ ^ 4 + 2A 2B ^ ^ 2 + ب ^ ^ 4-4a 2B ^ 2) #

#COLOR (أبيض) ج = الجذر التربيعي (أ ^ ^ 4-2a 2B ^ 2 + ب ^ 4) #

#COLOR (أبيض) ج = الجذر التربيعي ((أ ^ 2 ب ^ 2) ^ 2) #

#COLOR (أبيض) ج = ل^ 2 ب ^ 2 #

نطلب أيض ا أن تكون جميع الأطوال الجانبية موجبة ، هكذا

• # ل^ 2 + ب ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 أو b! = 0 #

• # 2AB> 0 #

  # => a ، b> 0 أو a ، b <0 #

• # ج = ل^ 2 ب ^ 2> 0 #

  # <=> ل^ 2> ب ^ 2 #

  # <=> عبسة> absb #

الآن ل أي مثلث ، أطول جانب يجب أن تكون أقصر من مجموع من الجانبين الآخرين. اذا لدينا:

#color (أبيض) (=>) 2ab + "" c c (أبيض) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2AB + (أ ^ 2 ب ^ 2)> و^ 2 + ب ^ 2 #

# => لون 2ab (أبيض) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "،" if b> 0) ، (a <b "،" if b <0):} #

علاوة على ذلك ، بالنسبة للطرف الثالث ليكون أصغر ، # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

أو # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # أو # a-b <sqrt2b # أو #a <b (1 + sqrt2) #

مع الجمع بين كل هذه القيود ، يمكننا أن نستنتج أنه من أجل أن يكون الطرف الثالث هو الأقصر ، يجب أن يكون لدينا # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb و (a ، b <0 أو a ، b> 0). #