ما هي اكستريمما f (x) = 3x-1 / sinx على [pi / 2، (3pi) / 4]؟

إجابة:

الحد الأدنى المطلق على المجال يحدث في تقريبا. # (pi / 2 ، 3.7124) #، والحد الأقصى المطلق على المجال يحدث في تقريبا. # (3pi / 4 ، 5.6544) #. لا توجد extrema المحلية.

تفسير:

قبل أن نبدأ ، يجب علينا تحليل ومعرفة ما إذا كان # سين × يأخذ على قيمة #0# في أي نقطة على الفاصل الزمني. # سين × هو صفر للجميع العاشر من هذا القبيل #x = npi #. # بي / 2 # و # 3pi / 4 # كلاهما أقل من # بي # وأكبر من # 0pi = 0 #. وبالتالي، # سين × لا تأخذ قيمة الصفر هنا.

من أجل تحديد ذلك ، تذكر أن هناك نقطة متطرفة تحدث في أي مكان #f '(x) = 0 # (نقاط حرجة) أو في واحدة من نقاط النهاية. هذا في الاعتبار ، نحن نأخذ مشتق ما ورد أعلاه (x) ، ونجد النقاط التي يكون فيها هذا المشتق يساوي 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

كيف يجب علينا حل هذا المصطلح الأخير؟

النظر لفترة وجيزة حكم متبادل، التي تم تطويرها للتعامل مع حالات مثل فترة ولايتنا الأخيرة هنا ، # d / (dx) (1 / sin x) #. تسمح لنا قاعدة المعاملة بالمثل بالتجاوز مباشرة باستخدام قاعدة السلسلة أو قاعدة النص المباشر من خلال الإشارة إلى أن هذه الوظيفة تعطي وظيفة مختلفة #G (خ) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

متى #g (x)! = 0 #

العودة إلى المعادلة الرئيسية لدينا ، توقفنا مع ؛

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

منذ #sin (خ) # غير قابل للتمييز ، يمكننا تطبيق القاعدة المتبادلة هنا:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

وضع هذا يساوي 0 ، وصلنا إلى:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

هذا يمكن أن يحدث فقط عندما #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. من هنا قد يتطلب الأمر منا استخدام أحد التعاريف المثلثية ، على وجه التحديد # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

هذا يشبه كثير الحدود ، مع #cos x # استبدال لدينا التقليدية س. وبالتالي ، نحن نعلن #cos x = u # و…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. باستخدام الصيغة التربيعية هنا …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

جذورنا تحدث في #u = (1 + -sqrt37) / 6 # حسب هذا ومع ذلك ، واحدة من هذه الجذور (# (1 + sqrt37) / 6 #) لا يمكن أن يكون الجذر ل #cos x # لأن الجذر أكبر من 1 و # -1 <= cosx <= 1 # للجميع س. الجذر الثاني ، من ناحية أخرى ، يتم حسابه تقريب ا #-.847127#. ومع ذلك ، هذا هو أقل من الحد الأدنى لقيمة #cos x # يمكن أن وظيفة على الفاصل الزمني (منذ #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. وهكذا، لا توجد نقطة حرجة في المجال.

هذا في الاعتبار ، يجب أن نعود إلى نقاط النهاية لدينا ووضعها في الوظيفة الأصلية. القيام بذلك ، نحصل عليه # f (pi / 2) حوالي 3.7124 ، f (3pi / 4) حوالي 5.6544 #

وبالتالي ، لدينا الحد الأدنى المطلق على المجال تقريبا # (pi / 2 ، 3.7124) ، # والحد الأقصى لدينا هو تقريبا # (3pi / 4 ، 5.6544) #