مجموع السلسلة 1 / (1 * 2) - 1 / (2 * 3) + 1 / (3 * 4) - .... حتى اللانهاية تساوي؟

إجابة:

المجموع هو # = # 2ln2-1

تفسير:

المصطلح العام لهذه السلسلة هو # = (- 1) ^ (ن + 1) / (ن (ن + 1)) #

نقوم بإجراء التحلل إلى كسور جزئية

# 1 / (ن (ن + 1)) = A / ن + B / (ن + 1) #

# = (A (ن + 1) + مليار دولار) / (ن (ن + 1)) #

وبالتالي،

# 1 = A (ن + 1) + مليار دولار #

متى # ن = 0 #, #=>#, # 1 = A #

متى # ن = -1 #, #=>#, # 1 = -B #

وبالتالي،

# 1 / (ن (ن + 1)) = 1 / ن 1 / (ن + 1) #

# (- 1) ^ (ن + 1) / (ن (ن + 1)) = (- 1) ^ (ن + 1) / ن - (- 1) ^ (ن + 1) / (ن + 1) #

# sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / (n (n + 1)) = sum_1 ^ oo (-1) ^ (n + 1) / n-sum_0 ^ oo (-1) ^ (n +1) / (ن + 1) #

#ln (1 + x) = sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n * x ^ n #

# sum_1 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / n = ln2 #

# sum_0 ^ (س س) (- 1) ^ (ن + 1) / (ن + 1) = sum_0 ^ 1 (-1) ^ (ن + 1) / (ن + 1) -sum_1 ^ س س (-1) ^ (ن) س ^ (ن + 1) / (ن + 1) #

# sum_0 ^ س س (-1) ^ (ن) س ^ (ن + 1) / (ن + 1) = 1-قانون الجنسية (1 + س) #

# sum_0 ^ (oo) (- 1) ^ (n + 1) / (n + 1) = 1-ln2 #

# sum_1 ^ س س (-1) ^ (ن + 1) / (ن (ن + 1)) = ln2- (1-LN2) = 2ln2-1 #