المثلث متساوي الساقين له جوانب A و B و C مع جوانب B و C متساوية في الطول. إذا كان الجانب A ينتقل من (1 ، 4) إلى (5 ، 1) وكانت مساحة المثلث 15 ، فما هي الإحداثيات الممكنة للزاوية الثالثة للمثلث؟

إجابة:

تشكل القارتان قاعدة بطول 5 ، لذلك يجب أن يكون الارتفاع 6 للوصول إلى المنطقة 15. القدم هي نقطة الوسط للنقاط ، وست وحدات في أي اتجاه عمودي # (33/5, 73/10)# أو #(- 3/5, - 23/10) #.

تفسير:

نصيحة للمحترفين: حاول التمسك بتقليد الحروف الصغيرة لجوانب المثلث والعواصم لرؤوس المثلث.

لقد حصلنا على نقطتين ومنطقة مثلث متساوي الساقين. النقطتان تجعل القاعدة ، # ب = الجذر التربيعي {(1/5) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

القدم #F# من الارتفاع هو نقطة الوسط للنقطتين ،

#F = ((1 + 5) / 2 ، (4 + 1) / 2) = (3 ، 5/2) #

الاتجاه متجه من بين النقاط هو #(1-5, 4-1)=(-4,3)# مع حجم 5 كما تحسب فقط. نحصل على الاتجاه الاتجاهي للعمودي من خلال مبادلة النقاط وإلغاء واحدة منها: #(3,4)# التي يجب أن يكون أيضا حجم خمسة.

منذ المنطقة # A = frac 1 2 b h = 15 # نحن نحصل # ح = (2 * 15) /b=6.#

لذلك نحن بحاجة إلى التحرك #6# وحدات من #F# في أي اتجاه عمودي للحصول على قمة الرأس الثالثة التي اتصلت بها # C #:

# C = F pm 6 frac {(3،4)} {5} = (3 ، 5/2) pm 6/5 (3،4) #

# C = (33/5 ، 73/10) أو C = (- 3/5 ، - 23/10) #

التحقق من: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

المنطقة الموقعة هي نصف المنتج المتبادل

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

هذه هي النهاية ، لكن دعونا نعمم الجواب قليلا. دعنا ننسى أنه يجري متساوي الساقين. إذا كان لدينا C (س ، ص) ، يتم إعطاء المنطقة بواسطة صيغة رباط الحذاء:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

المنطقة هي #15#:

# مساء 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 مساء 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # أو # -11 = 3x + 4y #

لذلك إذا كانت قمة الرأس C على أي من هذين الخطين المتوازيين ، فسنحصل على مثلث مساحته 15.

سمح # PR = A # يكون جانب مثلث متساوي الساقين له إحداثيات نقاط النهاية كما يلي

#Pto (1،4) # و #Rto (5،1) #

دع إحداثيات النقطة الثالثة للمثلث تكون # (س، ص) #.

مثل # (س، ص) # هو equidistant من P و R يمكننا الكتابة

# (خ-1) ^ 2 + (ص 4) ^ 2 = (س 5) ^ 2 + (ص 1) ^ 2 #

# => س ^ 2-2x + 1 + ص ^ 2-8Y + 16 = س ^ 2-10x + 25 + ص ^ 2-2y + 1 #

# => 8X-6Y = 9 #

# => س = (9 + 6Y) / 8 …… 1

مرة أخرى # (س، ص) # يجري متساوية من P و R ، انخفض عمودي من # (س، ص) # إلى # # PR يجب أن تشطر عليه ، دع هذه القدم من النقطة العمودي أو منتصف # # PR يكون # # T

حتى إحداثيات #Tto (3،2.5) #

الآن ارتفاع مثلث متساوي الساقين

# H = الجذر التربيعي ((س 3) ^ 2 + (ص 2،5) ^ 2) #

وقاعدة مثلث متساوي الساقين

# PR = A = الجذر التربيعي ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

لذلك من خلال مشكلة منطقتها

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((س 3) ^ 2 + (ص 2،5) ^ 2) = 6 #

# => (س 3) ^ 2 + (ص 2،5) ^ 2 = 36 …. 2 #

بواسطة 2 و 1 نحصل عليه

# ((9 + 6Y) / 8-3) ^ 2 + (ص 2،5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6Y 15) ^ 2 + (ص 2،5) ^ 2 = 36 #

# => (6Y 15) ^ 2 + 64 (ص 2،5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100Y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => ذ ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (ص 2،5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => ص = 2.5pm4.8 #

وبالتالي # ذ = 7.3 و ص = -2.3 #

متى # ص = 7.3 #

# س = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

متى # ذ = -2.3 #

# س = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

لذا فإن إحداثيات النقطة الثالثة ستكون

# (6.6،7.3) إلى "س في الشكل" #

أو

# (- 0.6 ، -2.3) إلى "S في الشكل" #