كيف يختلف استبدال المثلث عن استبدال u؟

إجابة:

بشكل عام ، يتم استخدام بدائل علم حساب المثلثات في تكاملات النموذج # س ^ 2 + -A ^ 2 # أو #sqrt (س ^ 2 + -A ^ 2) #، في حين # ش #يتم استخدام استبدال عندما تظهر دالة ومشتقها في التكامل.

تفسير:

أجد كلا النوعين من البدائل رائعة للغاية بسبب المنطق وراءها. النظر ، أولا ، استبدال علم حساب المثلثات. هذا ينبع من نظرية فيثاغورس وهويات فيثاغورس ، وربما المفهومين الأكثر أهمية في علم المثلثات. نستخدم هذا عندما يكون لدينا شيء مثل:

# س ^ 2 + ل^ 2 -> # أين #ا# هو ثابت

#sqrt (س ^ 2 + ل^ 2) -> # افتراض مرة أخرى #ا# هو ثابت

يمكننا أن نرى أن هذين تبدو مثل بفظاعة # ل^ 2 + ب ^ 2 = ج ^ 2 #وهو نظرية فيثاغورس. إنه يتصل بين جانبي المثلث الأيمن ونقص الوتر في المثلث. إذا استخلصنا ذلك ، يمكننا أن نرى ذلك نعم ، # س ^ 2 + ل^ 2 # يمكن تمثيله بمثلث:

الصورة مفيدة للغاية ، لأنها تخبرنا # tantheta = س / أ #أو # atantheta = س #. هذا يشكل الأساس لاستبدال علم حساب المثلثات. علاوة على ذلك (وهذا هو المكان الذي يصبح فيه رائع ا) ، عند الاستبدال # س = tantheta # إلى # س ^ 2 + ل^ 2 #، ينتهي بك الأمر فيثاغوري الهوية ، في هذه الحالة # تان ^ 2theta + 1 = ثانية ^ 2theta #. يمكنك بعد ذلك القيام ببعض التبسيط ل # ثانية ^ 2theta # إذا كنت بحاجة إلى ذلك ، والمكمل سهل هناك. الشيء نفسه ينطبق على الحالات # س ^ 2 واحد ^ 2 #, # ل^ 2-س ^ 2 #, #sqrt (س ^ 2 واحد ^ 2) #و #sqrt (أ ^ 2-س ^ 2) #.

يمكنك استخدام علم حساب المثلثات الفرعي. لعدد كبير من المشاكل ، ولكن يمكنك استخدامها # ش #-بدائل يمكن القول أكثر من ذلك. نستخدم هذه التقنية عندما يكون لدينا شيء مثل # intlnx / xdx #. إذا كنا ملتزمين ، نرى أن لدينا وظيفتين - # # lnx و # 1 / س #. وإذا تذكرنا مشتقاتنا الأساسية ، فنحن نعرف ذلك # د / dxlnx = 1 / س # إلى عن على # ضعف> 0 # (أو # د / dxlnabs (س) = 1 / س # إلى عن على # ضعف! = 0 #). وبالتالي فإن الفكرة هي أن أقول اسمحوا # ش = lnx #. ثم # (دو) / DX = 1 / س # و # دو = DX / س #. المشكلة ، بعد إجراء هذه البدائل ، يبسط ل # # intudu - لا يتجزأ أسهل بكثير من ذي قبل.

على الرغم من أن هاتين التقنيتين قد تكونا مختلفتين ، إلا أنهما يخدمان نفس الغرض: تقليص جزء لا يتجزأ من نموذج أبسط حتى نتمكن من استخدام التقنيات الأساسية. أنا متأكد من أن شرحي لا يكفي لتضمين جميع التفاصيل المحددة حول هذه البدائل ، لذلك أدعو الآخرين إلى المساهمة.