ما هي وظيفة الموجة وما هي المتطلبات اللازمة لتصرفها بشكل جيد ، أي أنها تمثل الواقع المادي بشكل صحيح؟

إجابة:

دالة الموجة هي دالة قيمة معقدة تعطي السعة (القيمة المطلقة) توزيع الاحتمال. ومع ذلك ، لا تتصرف بنفس الطريقة التي تتصرف بها الموجة العادية.

تفسير:

في ميكانيكا الكم ، نتحدث عن حالة النظام. أحد أبسط الأمثلة هو الجسيم الذي يمكن أن يكون في دوران أعلى أو أسفل ، على سبيل المثال إلكترون. عندما نقيس دوران النظام ، فإننا إما نقيسه لأعلى أو لأسفل. وهي حالة نتحقق من خلالها من نتائج القياس ، نسميها eigenstate (حالة واحدة up # # uarr واحد لأسفل الدولة # # الدر).

هناك أيض ا حالات لم نكن متأكدين فيها من نتائج القياس قبل قياسه. هذه الدول نسميها تراكب ا ويمكننا كتابتها # ل* uarr + ب * الدر #. لدينا هنا # | على | ^ 2 # احتمال القياس # # uarrو # | ب | ^ 2 # احتمال القياس # # الدر. هذا يعني بالطبع ذلك # | على | ^ 2 + | ب | ^ 2 = 1 #. نحن نسمح بذلك # أ، ب # ليكون عدد ا معقد ا ، فإن السبب في ذلك ليس واضح ا على الفور من هذا المثال ، ولكن في سياق دالة الموجية ، سيكون الأمر أكثر وضوح ا. خلاصة القول هي أن هناك حالات أكثر من حالة واحدة تعطي نفس الاحتمالات لقياس الدورات.

الآن يمكننا محاولة تعيين وظيفة لهذه الحالة الدورانية. نظر ا لوجود نتيجتين فقط من قياس الدوران ، فلدينا وظيفة تحتوي على اثنين فقط من المدخلات الممكنة. إذا نسميها الوظيفة # # رطل (هذا هو رمز التقليدية للغاية المستخدمة ل wavefuntion) ، وضعناها #psi (uarr) = أ # و #psi (الدر) = ب #.

الآن ننتقل إلى الدالة الموجية. جانب واحد من الجسيمات هو بالطبع موقعه. تمام ا كما في حالة الدوران ، يمكننا قياس قيم مميزة للموقع ، ويمكن أن يكون لدينا حالات لا تكون فيها نتيجة القياس ثابتة مسبق ا. نظر ا لأن لدينا كمية لا حصر لها لا حصر لها من المواقع التي يمكن أن يكون فيها جسيم ، فقم بتدوين هذه الحالة كـ # ل* "هنا" + ب * "هناك" # لن تفعل. ومع ذلك ، فإن فكرة الوظيفة التي استخدمناها أعلاه تعمل. لذلك في أي مكان # # س، لدينا قيمة معقدة #psi (خ) #. دالة كثافة الاحتمال للجسيمات مقدمة الآن بواسطة # | رطل (خ) | ^ 2 #.

في جميع الإنصاف ، كانت فكرة دالة الموجة تاريخيا أقدم من فكرة الدوران ، لكنني أعتقد أن فهم فكرة الدوران إلى حد ما يساعد في فهم دالة الموجة.

الآن بادئ ذي بدء ، لماذا يتم تقييم مجمع دالة الموجة؟ يمكن العثور على السبب الأول في فكرة التدخل. يمكن أن تتداخل وظيفة الموجة الجسيمية مع نفسها. يرتبط هذا التداخل بإضافة وظائف الموجات ، إذا كانت الدوال الموجية تعطي نفس القيمة المطلقة عند نقطة معينة ، فإن احتمال قياس الجسيم حول تلك النقطة متشابه. ومع ذلك ، قد تختلف قيم الوظيفة ، إذا كانت متماثلة ، فإن إضافتها ستجعل السعة أو كثافة الاحتمال 4 (#|2|^2#) مرات أكبر (التداخل البناء) ، وإذا كانت تختلف عن طريق علامة فإنها تبطل بعضها البعض (التدخل المدمر). ومع ذلك يمكن أن تختلف أيضا على سبيل المثال عامل #أنا#، مما يعني أن كثافة الاحتمالات تصبح #2# مرات أكبر في تلك المرحلة. نحن نعلم أن كل هذه التدخلات يمكن أن تحدث. لذلك يشير هذا إلى دالة موجية ذات قيمة معقدة كما هو موضح سابق ا.

يمكن العثور على السبب الثاني في معادلة شرودنجر. في البداية كان يعتقد أن هذه الوظائف الموجية تصرفت تمام ا مثل الأمواج الكلاسيكية. ومع ذلك ، عندما حاول شرودنجر وصف سلوك هذه الموجات ، أو على الأقل تطورها عبر الزمن ، وجد أن المعادلة التي تحكم الموجات الكلاسيكية لم تكن كافية. لكي يعمل ، اضطر إلى إدخال رقم معقد في المعادلة ، مما أدى إلى استنتاج مفاده أن الوظيفة نفسها يجب أن تكون معقدة أيض ا ، وترتيب المشتقات التي تظهر في المعادلة يختلف عن معادلة الموجة الكلاسيكية.

هذا الاختلاف في المعادلات يجيب أيض ا على سؤالك الثاني. نظر ا لأن تطور الدالة الموجية يختلف كثير ا عن تطور الموجات الكلاسيكية ، لا يمكننا استخدام نفس الأساليب التي نستخدمها في فيزياء الموجة الكلاسيكية. هناك بالطبع حجج هندسية يمكنك استخدامها ، لكنها لن تكون كافية لوصف جميع الظواهر في فيزياء الكم. بالإضافة إلى ذلك ، على الرغم من أن دالة الموجات تعطي الكثير من المعلومات حول حالة الجسيم ، إلا أنها لا تخبرك شيئ ا عن الدوران ، حيث إن الدوران والملاحظات لا علاقة لهما ببعضهما البعض.

ربما أفسر ما تعنيه الطبيعة الهندسية بشكل خاطئ. هل يمكن أن تعطي مثالا على ما تقصد. ربما بعد ذلك يمكنني مساعدتك.

ال وظيفة الموجة يمثل حالة النظام الميكانيكي الكمومي مثل الذرة أو الجزيء.

يمكن تمثيله أيض ا # # رطل، ال في الوقت مستقل وظيفة الموجة ، أو # # بسي، ال يعتمد الوقت وظيفة الموجة.

بسبب ال موجة وظيفة يمثل بوضوح نظام يتصرف مثل موجة (ليس من قبيل الصدفة أن يطلق عليه موجة وظيفة!) ، كنا نتوقع عادة مطلق وظيفة موجة ليس لها حدود. النظر في حقيقة أن # # sinx و # # cosx، وظيفتين التي هي بوضوح موجات ، لديها مجالات # (- س س، س س) #.

مثال: وظيفة الموجة للمدارات

ومع ذلك ، دعونا نأخذ المدارات على سبيل المثال. يجب أن يكون هناك مجموعة من شروط الحدود للمدارات ، لأنه من الواضح أن المدارات ليست كبيرة بلا حدود.

وظيفة موجة يمكن أن تصور مزيج خطي من المدارات الذرية لتشكيل المدارات الجزيئية:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = اللون (الأزرق) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..) #

أين # # c_i هل معامل التمدد مبينا مساهمة كل مدار ذري في المدار الجزيئي المعين المعني # phi_i ^ "AO" # هل وظيفة الموجة التجريبية / التجريبية لكل المدار الذري.

بما أن دالة الموجة يجب أن تكون قادرة على تمثيل المدار ، فيجب أن يكون لها نصف قطر موجب (#r> 0 #) ويجب أن تكون وظيفة الموجة غير مرتبطة -valued، مغلق , مستمر , متعامد لجميع وظائف الموجة ذات الصلة ، و normalizable .

بمعنى آخر ، يجب أن يجتاز اختبار الخط العمودي ، وأن يكون له مساحة محدودة أسفل المنحنى ، ولا يوجد به قفزات / توقف / تقاربات / فواصل ، ويلبي المعادلتين التاليتين:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(جزء لا يتجزأ من وظيفة الموجة ومتقارنها المعقد هو #0# إذا كانت وظائف الموجة مختلفة)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(جزء لا يتجزأ من دالة الموجة ومتقاربها المعقدة هو تطبيع بحيث تساوي #1# إذا كانت وظائف الموجة هي نفسها بجانب علامة # # مؤشر مديري المشتريات)

مثال معادلة دالة الموجة في الإحداثيات الكروية لذرة الهيدروجين هو:

#color (blue) (psi_ (2pz) (r، theta، phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta، phi) #

# = اللون (الأزرق) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

للتفكير ، لقد قضيت بعض الوقت لتطبيع هذا الأمر. أخذت الوقت الكافي للتحقق من التعامد مع الآخرين # # 2P وظائف الموجة.: P

فقط في حالة ، هنا هو ملحق لما قمت بربطه أعلاه في Scratchpads.

#' '#

تطبيع

ال # # 2p_z دالة الموجة المدارية الذرية هي:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta، phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta، phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(ماك كويري)

هل # # 2p_z دالة الموجة هل حقا تطبيع؟ هيا نكتشف!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta، phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (؟) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (؟) (=) 1 #

#color (أخضر) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (؟) (=) 1) #

الآن ، تفحص الجزء الشعاعي فقط ، وهو الجزء المجنون … فلتبدأ التكامل الرباعي بواسطة Parts!

تقييم المكون الاقليمي للوظيفة الموجية

الجزء 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

السماح:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ ((- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

الجزء 2

السماح:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

الجزء 3

السماح:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

الجزء 4

السماح:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (عنصر الزركون) / (a_0)) الدكتور}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))دكتور}}#

EXPANSION / بالتبسيط

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (عنصر الزركون) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (عنصر الزركون) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / زي ^ (- (عنصر الزركون) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 هـ ^ (- (Zr) / (a_0)) #

نموذج التقييم الجاهز

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

النصف الأول يلغي ان نكون #0#:

# = إلغاء ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

الشوط الثاني يبسط أسفل ان نكون # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = إلغاء (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) إلغاء ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + إلغاء (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + إلغاء (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + إلغاء (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

الآن ، دعونا نعيد النظر في وظيفة الموجة ككل …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (؟) (=) 1 #

# = 1 / (إلغاء (32) إلغاء (pi)) إلغاء ((Z / a_0) ^ 5) (إلغاء (16) إلغاء ((a_0 / Z) ^ 5)) (إلغاء (2) إلغاء (pi)) stackrel (؟) (=) 1 #

# اللون (الأزرق) (1 = 1) #

نعم فعلا! لا أحد متساوي! انا اعني…

هو بالفعل تطبيع وظيفة الموجة!:د

إثبات التعامد المتبادل لوظائف الموجة 2p

دعنا نختار الوظائف التالية:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

لإظهار أنها متعامدة ، نحتاج إلى إظهار واحد منهم على الأقل:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

ومن خلال الاستقراء ، يمكننا ضمنا أن الباقي لأن المكونات الشعاعية متطابقة. بعبارات أخرى:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl، 2px) ^ "*" (r) R_ (nl، 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (؟) (=) 0) #

#color (أخضر) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) stackrel cosphidphi (؟) (=) 0) #

الجزء شعاعي تبين أن # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. لذلك ، دعونا تقييم الأجزاء الزاوي.

ال # # ثيتا جزء:

#color (أخضر) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

السماح:

#u = سينتا

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = اللون (الأخضر) (0) #

والآن ال # # فاي جزء:

#color (أخضر) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

السماح:

#u = سينتا

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = اللون (الأخضر) (0) #

لذلك ، لدينا عموما:

#color (blue) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = إلغاء (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = اللون (الأزرق) (0) #

منذ

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

ال # # 2p_z و # # 2p_x المدارات الذرية متعامدة.

حقا ، والفرق الرئيسي مع استخدام # # 2p_y المعادلة هي أنك تحصل بدلا من ذلك على:

#color (أخضر) ("الثوابت" int_ (0) ^ (oo) "الأشياء ذاتها" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (؟) (=) 0) #

و حينئذ:

#color (blue) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = اللون (أزرق) (0) #

من الضرب #0# من التكاملات الأخرى ، وبالتالي يختفي المكون بالكامل و:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

وبالتالي ، فإن # # 2p_x و # # 2p_y المدارات الذرية متعامدة.

وأخيرا ، ل # # 2p_y مقابل # # 2p_z:

#color (أخضر) ("الثوابت" int_ (0) ^ (oo) "الأشياء ذاتها" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (؟) (=) 0) #

نحن نعرف # # ثيتا جزء لا يتجزأ من قبل:

#color (blue) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = اللون (الأزرق) (0) #

وهكذا يختفي المكمل كله مرة أخرى ، وفي الواقع # # 2p_y و # # 2p_z المدارات متعامدة كذلك!