يتم إلقاء زوج من النرد عادلة من ستة جوانب ثماني مرات. العثور على احتمال أن النتيجة أكبر من 7 وسجل لا يزيد عن خمس مرات؟

إجابة:

#~=0.9391#

تفسير:

قبل الدخول في السؤال نفسه ، دعنا نتحدث عن طريقة حلها.

دعنا نقول ، على سبيل المثال ، أنني أريد حساب جميع النتائج المحتملة من تقليب عملة عادلة ثلاث مرات. يمكنني الحصول على HHH ، TTT ، TTH ، و HHT.

احتمال H هو #1/2# واحتمال T هو أيضا #1/2#.

ل HHH و TTT ، وهذا هو # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # كل.

بالنسبة إلى TTH و HHT ، إنه أيض ا # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # كل منها ، ولكن نظر ا لوجود 3 طرق يمكنني الحصول عليها ، فسينتهي بها الأمر # 3xx1 / 8 = 3/8 # كل.

عندما ألخص هذه النتائج ، أحصل عليها #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - مما يعني أن لدي الآن كل النتائج الممكنة للعملة المعدنية.

لاحظ أنه إذا قمت بتعيين # H # ان نكون # ف # وبالتالي لديك # # T يكون # ~ ص #ولاحظ أيض ا أن لدينا خط ا من مثلث Pascal #(1,3,3,1)#، قمنا بإعداد شكل من أشكال:

#sum_ (ك = 0) ^ (ن) C_ (ن، ك) (ع) ^ ك ((~ ع) ^ (ن ك)) #

وهكذا في هذا المثال ، نحصل على:

# = C_ (3،0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3،1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3،2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3،3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

الآن يمكننا أن نفعل المشكلة.

لقد حصلنا على عدد اللفات كـ 8 ، لذلك # ن = 8 #.

# ف # هو المجموع أكبر من 7. للعثور على احتمال الحصول على مبلغ أكبر من 7 ، دعنا ننظر إلى القوائم المحتملة:

# ((اللون (الأبيض) (0)، UL1، ul2، ul3، ul4، ul5، UL6)، (1 |، 2،3،4،5،6،7)، (2 |، 3،4،5 ، 6،7،8)، (3 |، 4،5،6،7،8،9)، (4 |، 5،6،7،8،9،10)، (5 |، 6،7، 8،9،10،11)، (6 |، 7،8،9،10،11،12)) #

من بين 36 الاحتمالات ، 15 لفة تعطي مبلغ أكبر من 36 ، مما يعطي احتمال #15/36=5/12#.

مع # p = 5/12 ، ~ p = 7/12 #

يمكننا كتابة مجموع الاحتمالات بالكامل - من الحصول على جميع ال 8 لفات إلى مبلغ أكبر من 7 على طول الطريق إلى جعل كل ال 8 لفات مجموع 7 أو أقل:

# = C_ (8،0) (12/05) ^ 8 (12/07) ^ 0 + C_ (8،1) (12/05) ^ 7 (12/07) ^ 1 + C_ (8،2) (5/12) ^ 6 (12/7) ^ 2 + C_ (8،3) (12/05) ^ 5 (12/07) ^ 3 + C_ (8،4) (12/05) ^ 4 (12/07) ^ 4 + C_ (8،5) (12/05) ^ 3 (12/07) ^ 5 + C_ (8،6) (12/05) ^ 2 (12/07) ^ 6 + C_ (8،7) (12/05) ^ 1 (12/07) ^ 7 + C_ (8،8) (12/05) ^ 0 (12/07) ^ 8 = 1 #

لكننا مهتمون بتلخيص فقط تلك المصطلحات التي تحدث لدينا أكثر من 7 مجموع يحدث 5 مرات أو أقل:

# = C_ (8،3) (12/05) ^ 5 (12/07) ^ 3 + C_ (8،4) (12/05) ^ 4 (12/07) ^ 4 + C_ (8،5) (5/12) ^ 3 (12/07) ^ 5 + C_ (8،6) (12/05) ^ 2 (12/07) ^ 6 + C_ (8،7) (12/05) ^ 1 (12/07) ^ 7 + C_ (8،8) (12/05) ^ 0 (12/07) ^ 8 #

#~=0.9391#

إجابة:

#0.93906#

تفسير:

# "لذا P النتيجة> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "يحدث k مرات في 8 رميات" = C (8 ، ك) (5/12) ^ ك (7/12) ^ (8 ك) "#

#"(توزيع ثنائي)"#

# "مع" C (n ، k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(المجموعات)" #

#"وبالتالي، "#

#P "يحدث على الأكثر 5 مرات في 8 رميات" #

# = 1 - P "يحدث 6 أو 7 أو 8 مرات على 8 رميات" #

# = 1-C (8،6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8،7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#