ماذا (3 + i) ^ (1/3) متساوية في شكل + bi؟

إجابة:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

تفسير:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # أين #alpha = أركان (1/3) #

وبالتالي

#root (3) (3 + i) = الجذر (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

منذ # 3 + ط # في Q1 ، هذا الجذر الرئيسي للمكعب من # 3 + ط # هو أيضا في Q1.

جذران مكعبان آخران # 3 + ط # يتم التعبير عنها باستخدام جذر مكعب مجمع البدائية للوحدة #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 i #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) أنا #

# omega ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) أنا #