اجعل f وظيفة مستمرة: أ) أوجد f (4) إذا _0 ^ (x ^ 2) f (t) dt = x sin πx لجميع x. b) أوجد f (4) إذا _0 ^ f (x) t ^ 2 dt = x sin πx for x كلها؟

إجابة:

ا) # F (4) = بي / 2 #. ب) # F (4) = 0 #

تفسير:

ا) التفريق بين الجانبين.

من خلال النظرية الأساسية الثانية لحساب التفاضل والتكامل على الجانب الأيسر وقواعد المنتج والسلسلة على الجانب الأيمن ، نرى أن التمايز يكشف أن:

# F (س ^ 2) * 2X = الخطيئة (بيكسل) + pixcos (بيكسل) #

السماح # س = 2 # يدل على أن

# F (4) * 4 = الخطيئة (2pi) + 2picos (2pi) #

# F (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 #

# F (4) = بي / 2 #

ب) دمج المصطلح الداخلي.

# int_0 ^ و (خ) ر ^ 2DT = xsin (بيكسل) #

# ر ^ 3/3 _0 ^ و (س) = xsin (بيكسل) #

تقييم.

# (و (خ)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (بيكسل) #

# (و (خ)) ^ 3/3 = xsin (بيكسل) #

# (و (خ)) ^ 3 = 3xsin (بيكسل) #

سمح # س = 4 #.

# (و (4)) ^ 3 = 3 (4) الخطيئة (4pi) #

# (و (4)) ^ 3 = 12 * 0 #

# F (4) = 0 #