ما هو f '(- pi / 3) عندما تعطى f (x) = sin ^ 7 (x)؟

أنه # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

طريقة

# F (س) = الخطيئة ^ 7 (خ) #

من المفيد جد ا إعادة كتابة هذا كـ # F (س) = (الخطيئة (خ)) ^ 7 # لأن هذا يوضح أن ما لدينا هو # 7 ^ (ال) # وظيفة السلطة.

استخدم قاعدة القوة وقاعدة السلسلة (تسمى هذه المجموعة غالب ا باسم قاعدة الطاقة المعممة.)

إلى عن على # F (س) = (ز (خ)) ^ ن #، المشتق هو # F '(س) = ن (ز (خ)) ^ (ن 1) * ز "(خ) #, في تدوين آخر # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

في كلتا الحالتين ، لسؤالك # F '(س) = 7 (الخطيئة (خ)) ^ 6 * كوس (خ) #

يمكنك الكتابة #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

في # x = - pi / 3 #، نحن لدينا

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "دع" ص = و (س) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "دع" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

الآن، #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {هل توافق؟}

# = 7u ^ 6 * cosx #

لكن تذكر #u = الخطيئة (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (- الصربية (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

لديك الشرف لتبسيط

ملحوظة:

{

أتساءل لماذا ايم تفعل كل هذا "ترك الاشياء"؟

والسبب هو أن هناك أكثر من وظيفة في # F (خ) #

** هناك: # الخطيئة ^ 7 (خ) # و هناك # sin (x) #!!

حتى تجد # F '(خ) # أحتاج إلى العثور على #F'# من # الخطيئة ^ 7 (خ) #

و ال #F'# من #sin (خ) #

لهذا السبب أحتاج إلى السماح # ص = و (س) #

ثم السماح #u = الخطيئة (x) #

}