كيف يمكنك استخدام نظرية القيمة الوسيطة للتحقق من وجود صفر في الفاصل الزمني [0،1] لـ f (x) = x ^ 3 + x-1؟

إجابة:

هناك بالضبط 1 صفر في هذا الفاصل الزمني.

تفسير:

تنص نظرية القيمة الوسيطة على أنه بالنسبة لوظيفة مستمرة محددة في الفاصل الزمني # أ، ب # يمكننا السماح # ج # يكون رقم مع

#f (a) <c <f (b) # وذلك #EE س في أ ، ب # مثل ذلك #f (x) = c #.

والنتيجة الطبيعية لذلك هي أنه إذا كانت علامة #f (a)! = # علامة # F (ب) # هذا يعني أنه يجب أن يكون هناك بعض # x في أ ، ب # مثل ذلك #f (x) = 0 # لان #0# من الواضح بين السلبيات والإيجابيات.

لذلك ، دعونا الفرعية في نقاط النهاية:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#وبالتالي# هناك صفر واحد على الأقل في هذا الفاصل الزمني. للتحقق مما إذا كان هناك جذر واحد فقط ، فإننا ننظر إلى المشتق الذي يعطي الميل.

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

يمكننا أن نرى أن #AA x في a، b، f '(x)> 0 # لذلك تتزايد الوظيفة دائم ا في هذا الفاصل الزمني - وهذا يعني أن هناك جذر ا واحد ا فقط في هذه الفترة الزمنية.