كيف يمكنك العثور على حد (ln x) ^ (1 / x) مع اقتراب x من اللانهاية؟

إجابة:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

تفسير:

نبدأ بخدعة شائعة تمام ا عند التعامل مع الأسس المتغيرة. يمكننا أن نأخذ السجل الطبيعي لشيء ما ثم نرفعه باعتباره الأس للدالة الأسية دون تغيير قيمته لأن هذه عمليات عكسية - لكنها تتيح لنا استخدام قواعد السجلات بطريقة مفيدة.

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x))) #

باستخدام قاعدة الأس الأسس:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

لاحظ أنه هو الأس الذي يختلف # # xrarroo حتى نتمكن من التركيز عليها ونقل الوظيفة الأسية خارج:

# = إكسب (lim_ (xrarroo) (قانون الجنسية (قانون الجنسية (خ)) / س)) #

إذا نظرت إلى سلوك وظيفة السجل الطبيعي ، فستلاحظ أنه بينما يميل x إلى ما لا نهاية ، فإن قيمة الوظيفة تميل أيض ا إلى ما لا نهاية ، وإن كانت بطيئة للغاية. عندما نأخذ #ln (قانون الجنسية (خ)) # لدينا متغير داخل وظيفة السجل يميل إلى ما لا نهاية ببطء شديد ، وهذا يعني أن لدينا وظيفة شاملة تميل إلى ما لا نهاية ببطء شديد. الرسم البياني أدناه يتراوح فقط إلى # س = 1000 # لكنه يدل على النمو البطيء للغاية لل #ln (قانون الجنسية (خ)) # حتى بالمقارنة مع النمو البطيء لل #ln (خ) #.

من هذا السلوك ، يمكننا أن نستنتج ذلك # # س سوف تظهر نمو أسرع مقارب وأن الحد من الأس سيكون لذلك صفر. #color (أزرق) ("هذا يعني أن الحد الإجمالي = 1.") #

يمكننا أيضا معالجة هذه النقطة مع حكم لوبيتال. نحن بحاجة إلى الحد ليكون في شكل غير محدد ، أي # 0/0 أو oo / oo # لذلك نحن نتحقق من أن هذا هو الحال:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

هذا هو الحال بالفعل يصبح الحد:

# = إكسب (lim_ (xrarroo) ((د / (DX) (قانون الجنسية (قانون الجنسية (خ)))) / (د / (DX) خ))) #

للتفريق #y = ln (ln (x)) # تعترف لدينا #Y (ش (خ)) # واستخدم قاعدة السلسلة

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) تعني (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) تعني (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

مشتق من # # س هو #1#. الحد يصبح:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

لقد تناولنا أن كلتا الوظيفتين على المقام تميل إلى اللانهاية لذلك لدينا

# Exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #