كيف يمكنني تقييم cos (pi / 5) دون استخدام آلة حاسبة؟

إجابة:

كوس (# بي # / 5) = كوس 36 ° = (# # الجذر التربيعي5 + 1)/4.

تفسير:

إذا # # ثيتا = # بي #/ 10 ، ثم 5# # ثيتا = # بي #/2 #=># cos3# # ثيتا = sin2# # ثيتا. كوس (# بي # /2 - #ألفا#) = الخطيئة#ألفا#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # # ثيتا - 3cos# # ثيتا = 2 دقيقة# # ثيتاكوس# # ثيتا#=># 4 # كوس ^ 2 ## # ثيتا - 3 = 2 الخطيئة # # ثيتا.

#=># 4 (1 - # الخطيئة ^ 2 # # # ثيتا) - 3 = 2 الخطيئة# # ثيتا. #=># 4# الخطيئة ^ 2 # # # ثيتا+ 2sin# # ثيتا - 1 = 0#=>#

خطيئة# # ثيتا =(# # الجذر التربيعي 5 - 1) /4.

الآن كوس 2# # ثيتا = كوس # بي #/5 = 1 - 2# الخطيئة ^ 2 # # # ثيتايعطي النتيجة.

إجابة:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

تفسير:

سمح #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. وهكذا #cos (4 * pi / 5) = -a #. من الصيغ زاوية مزدوجة:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

طرح،

# a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# أ + ب # ليس صفرا ، حيث أن كلا المصطلحين موجبان ، لذلك # على بعد ب # لابد أن يكون #1/2#. ثم

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

والجذر الإيجابي الوحيد هو

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

و #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.