ما هو أكبر عدد صحيح x ، الذي ستكون قيمة f (x) = 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9 أكبر من قيمة g (x) = 3 ^ x؟

إجابة:

# س = 9 #

تفسير:

نحن نبحث عن أكبر عدد صحيح حيث:

# F (خ)> ز (خ) #

# 5X ^ 4 + 30X ^ 2 + 9> 3 ^ س #

هناك عدة طرق يمكننا القيام بها. واحد هو ببساطة محاولة الخروج من الأعداد الصحيحة. كقاعدة أساسية ، دعونا نحاول # س = 0 #:

#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#

#0+0+9>1#

ونحن نعرف ذلك # # س على الأقل 0 لذلك لا توجد حاجة لاختبار الأعداد الصحيحة السالبة.

يمكننا أن نرى أن أكبر قوة على اليسار هي 4. دعونا نحاول # س = 4 # وانظر ماذا يحدث:

#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#

#5(256)+30(4)^2+9>81#

سوف أحجم عن بقية الرياضيات - من الواضح أن الجانب الأيسر أكبر بمقدار كبير. اذا لنجرب # س = 10 #

#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#

#5(10000)+30(100)+9>59049#

#50000+3000+9>59049#

وبالتالي # س = 10 # هو كبير جدا. أعتقد أن إجابتنا ستكون 9. دعنا نتحقق:

#5(6561)+30(81)+9>19683#

#32805+30(81)+9>19683#

ومرة أخرى ، من الواضح أن الجانب الأيسر أكبر من اليمين. لذلك الجواب النهائي لدينا هو # س = 9 #.

ما هي الطرق الأخرى للعثور على هذا؟ يمكن أن حاولنا الرسوم البيانية. إذا عبرنا عن هذا # (5X ^ 4 + 30X ^ 2 + 9) -3 ^ س = 0 #، نحصل على رسم بياني يشبه هذا:

رسم بياني {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0، 11، -10000، 20000}

ويمكننا أن نرى أن الإجابة تبلغ ذروتها حول # س = 8.5 # علامة ، لا تزال إيجابية في # س = 9 # ويتحول سلبية قبل الوصول # س = 10 # - صناعة # س = 9 # أكبر عدد صحيح.

كيف يمكن أن نفعل هذا؟ يمكننا حل # (5X ^ 4 + 30X ^ 2 + 9) -3 ^ س> 0 # جبريا.

# 5X ^ 4 + 30X ^ 2 + 9-3 ^ س> 0 #

لجعل الرياضيات أسهل ، سألاحظ أولا أنها قيم # # س زيادة ، شروط الجانب الأيسر تبدأ لتصبح غير ذات صلة. أولا ، ستنخفض الأهمية 9 إلى أن لا صلة لها بالموضوع تمام ا ، والشيء نفسه ينطبق على # 30X ^ 2 # مصطلح. لذلك هذا يقلل إلى:

# 5X ^ 4> 3 ^ س #

#log (5X ^ 4)> سجل (3 ^ س) #

# 4log5x> xlog3 #

# 4log5 + 4logx> xlog3 #

# (4log5 + 4logx) / log3> س #

وأعتقد أنني صنع فوضى من هذا! الجبر ليس طريقة سهلة للتعامل مع هذه المشكلة!