ما هي extrema العالمية والمحلية لـ f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)؟

إجابة:

# F (خ) # لديه الحد الأدنى المطلق في #(-1. 0)#

# F (خ) # لديه الحد الأقصى المحلي في # (- 3 ، 4e ^ -3) #

تفسير:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # سيادة المنتج

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

للإطلالة المطلقة أو المحلية: #f '(x) = 0 #

اين هذا: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

منذ # e ^ x> 0 forall x في RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 أو -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # سيادة المنتج

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

مرة أخرى ، منذ ذلك الحين # ه ^ س> 0 # نحن بحاجة فقط اختبار علامة # (س ^ 2 + 6X + 7) #

في نقاط extrema لدينا لتحديد ما إذا كانت النقطة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # هو الحد الأدنى

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # هو الحد الأقصى

النظر في الرسم البياني لل # F (خ) # أدناه فمن الواضح أن # F (-3) # هو الحد الأقصى المحلي و # F (-1) # هو الحد الأدنى المطلق.

رسم بياني {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788 ، 2.005 ، -0.658 ، 3.24}

أخير ا ، تقييم نقاط extrema:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

و

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #