X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 له جذر واحد x = sqrt (2) + sqrt (3). ما هي الجذور الثلاث الأخرى ولماذا؟

إجابة:

الثلاثة جذور الأخرى #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # و #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. فيما يتعلق بالسبب ، دعني أخبرك قصة …

تفسير:

السيد رشيد يعيش في بلدة الجبر.

إنه يعرف كل أرقام النموذج # م / ن # أين # م # و # ن # هي أعداد صحيحة و #n! = 0 #.

انه سعيد للغاية حل كثير الحدود مثل # 3X + 8 = 0 # و # 6X ^ 2-5x-6 = 0 #، ولكن هناك الكثير من اللغز له.

حتى كثير الحدود على ما يبدو مثل # س ^ 2-2 = 0 # يبدو لا يطاق.

جاره الثري ، السيد ريال ، يشعر بالشفقة عليه. "ما تحتاجه هو ما يسمى الجذر التربيعي ل #2#. هنا تذهب ". بهذه الكلمات ، يسلم السيد Real رقم ا أزرق غامق ا غامض ا يسمى # # R_2 إلى السيد الرشيد. كل ما قيل عن هذا الرقم هو ذلك # R_2 ^ 2 = 2 #.

السيد Rational يعود إلى دراسته ولعب مع هذا الغامض # # R_2.

بعد فترة قصيرة يجد أنه يمكنه إضافة وطرح وضرب وتقسيم الأرقام # a + b R_2 # أين #ا# و #ب# عقلانية وينتهي الأمر بأرقام من نفس الشكل. كما يلاحظ ذلك # س ^ 2-2 = 0 # لديه حل آخر ، وهي # # -R_2.

هو الآن قادر على حل ليس فقط # س ^ 2-2 = 0 #، لكن # س ^ 2 + 2X-1 = 0 # وغيرها الكثير.

كثير من الحدود الأخرى لا تزال تهرب من الحل. فمثلا، # س ^ 2-3 = 0 #لكن السيد ريال سعيد لمنحه رقم ا أخضر لامع ا يسمى # # R_3 أن يحل هذا واحد.

سيجد السيد Rational قريب ا أنه قادر على التعبير عن جميع الأرقام التي يمكنه صنعها # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #، أين #ا#, #ب#, # ج # و #د# عقلانية.

يوم واحد السيد Rational لديه الذهاب في حل # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. يجد ذلك # س = R_2 + R_3 # هو الحل.

قبل أن يبحث عن المزيد من الحلول ، اصطدم بجيرانه ، السيد Real. انه يشكر السيد ريال على هدية من # # R_2 و # # R_3، ولكن لديه استفسار عنها. يقول "لقد نسيت أن أسأل:" هل هي إيجابية أم سلبية؟ ". قال السيد ريل: "لم أكن أعتقد أنك تهتم". "طالما أنك تقوم بحل متعددات الحدود بمعاملات عقلانية ، فليس من المهم حق ا. القواعد التي وجدتها لإضافة أو طرح أو ضرب أو تقسيم أرقامك الجديدة تعمل أيض ا مع أي منهما. في الواقع ، أعتقد أن الرقم الذي مسمي # # R_2 هو ما يسميه معظم الناس # -sqrt (2) # والذي اتصلت به # # R_3 هو ما يسميه معظم الناس #sqrt (3) #'.

لذلك لأرقام السيد الرشيد الجديدة من النموذج # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # لا يهم ما إذا كان # # R_2 و / أو # # R_3 إيجابية أو سلبية من وجهة نظر حل كثير الحدود مع المعاملات المنطقية.