ما هي المعادلة في شكل قياسي من القطع المكافئ مع التركيز على (42 ، -31) ومصفوفة من y = 2؟

إجابة:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # النموذج القياسي

تفسير:

يرجى ملاحظة أن directrix هو خط أفقي

#y = 2 #

لذلك ، المكافئ هو النوع الذي يفتح لأعلى أو لأسفل ؛ شكل قمة الرأس للمعادلة لهذا النوع هو:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

أين # (ح، ك) # هو قمة و #F# هي المسافة العمودية الموقعة من قمة الرأس إلى التركيز.

الإحداثي س في قمة الرأس هو نفسه الإحداثي س للتركيز:

# س = 42 #

استبدل #42# إلى عن على # ح # في المعادلة 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" #

الإحداثي y في الرأس هو في منتصف الطريق بين directrix والتركيز:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

# ك = (2 + (- 31)) / 2 #

# ك = -29 / 2 #

استبدل #-29/2# إلى عن على #ك# في المعادلة 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

المعادلة للعثور على قيمة #F# هو:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

استبدل #-33/2# إلى عن على #F# في المعادلة 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

تبسيط الكسر:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

توسيع المربع:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

توزيع الكسر:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

الجمع بين مثل الشروط:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # النموذج القياسي

إجابة:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22 ، #

تفسير:

سوف نحل هذا مشكلة باستخدام ما يلي والتركيز للالمخرجة

الملكية (FDP) من القطع المكافئ.

FDP: أي نقطة على القطع المكافئ هندسة هو متساوي البعد من

التركيز و ال الدليل.

اسمحوا ، وهذه النقطة # F = F (42 ، -31) ، "و ، السطر" d: y-2 = 0 ، # يكون

ال التركيز و ال الدليل من بارابولا ، يقول س.

اسمحوا، # P = P (x ، y) في S ، # كن اي نقطة العامة.

ثم ، باستخدام صيغة المسافة ، لدينا ، المسافة ،

# FP = الجذر التربيعي {(س 42) ^ 2 + (ص + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

مع العلم أن # # bot-شعبة نظم. بين نقطة # (ك، ك)، # و ، خط:

# الفأس + من + ج = 0، # هو، # | آه + BK + ج | / الجذر التربيعي (أ ^ 2 + ب ^ 2)، # نجد ذلك ،

# "the" bot- "dist. btwn" P (x، y)، &، d "is،" | y-2 | ………….. (2). #

بواسطة الحزب الديمقراطي الحر، # (1) و (2) ، # نحن لدينا،

# sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 | ، أو ، #

# (x-42) ^ 2 = (y-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957 ، أي ، #

# س ^ 2-84x + 1764 = -66y-957 #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721، # التي ، في النموذج القياسي،

يقرأ، # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22 ، #

مثل محترم دوغلاس ك وقد استمدت بالفعل!

استمتع الرياضيات.