السؤال رقم 90cf3 + مثال

إجابة:

للعثور على جذور المعادلات مثل # e ^ x = x ^ 3 #، أوصي باستخدام طريقة التحليل العددي العودية ، والتي تسمى طريقة نيوتن

تفسير:

دعونا نفعل مثالا.

لاستخدام طريقة نيوتن ، تكتب المعادلة في النموذج #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

إحصاء - عد # F '(خ) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

نظر ا لأن هذه الطريقة تتطلب إجراء نفس الحساب عدة مرات ، إلى أن تتقارب ، أوصي باستخدام جدول بيانات Excel ؛ سيحتوي باقي إجابتي على إرشادات حول كيفية القيام بذلك.

أدخل تخمين جيد لـ x في الخلية A1. لهذه المعادلة ، سأدخل 2.

أدخل ما يلي في الخلية A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

يرجى ملاحظة أن ما ورد أعلاه هو لغة جداول البيانات إكسل ل

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

نسخ محتويات الخلية A2 إلى A3 خلال A10. بعد 3 أو 4 مرات فقط ، يمكنك أن ترى أن الطريقة قد تقاربت

#x = 1.857184 #

إجابة:

يمكننا استخدام نظرية القيمة الوسيطة لنرى أن لكل زوج نقطة تقاطع واحدة على الأقل.

تفسير:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # مستمر على الخط الحقيقي بأكمله.

في # س = 0 #، نحن لدينا # F (0) = 1 #.

في # س = -1 #، نحن لدينا #f (-1) = 1 / e-1 # وهو سلبي.

#F# مستمر في #-1,0#، لذلك هناك واحد على الأقل # ج # في #(-1,0)# مع # F (ج) = 0 #.

#G (س) = ه ^ س-س ^ 3 # مستمر على الخط الحقيقي بأكمله.

في # س = 0 #، نحن لدينا #G (0) = 1 #.

في # س = 2 #، نحن لدينا #g (2) = e ^ 2-8 # وهو سلبي.

(لاحظ أن # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# ز # مستمر في #0,2#، لذلك هناك واحد على الأقل # ج # في #(0,2)# مع #G (ج) = 0 #.