ما هي extrema المحلية ، إن وجدت ، من f (x) = x ^ 2 + 9x +1؟

إجابة:

Parabolae لها بالضبط واحدة extrema ، قمة الرأس.

أنه #(-4 1/2, -19 1/4)#.

منذ # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # في كل مكان تكون الوظيفة مقعرة في كل مكان ويجب أن تكون هذه النقطة كحد أدنى.

تفسير:

لديك جذران لإيجاد قمة الرأس المكافئ: واحد ، استخدم حساب التفاضل والتكامل لتجد أن المشتق يساوي الصفر ؛ ثانيا ، تجنب حساب التفاضل والتكامل بأي ثمن واكمل المربع. نحن نستخدم حساب التفاضل والتكامل لهذه الممارسة.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #، نحن بحاجة إلى اتخاذ مشتق من هذا.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

بواسطة الخطي للمشتق لدينا

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

باستخدام حكم السلطة ، # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # نحن لدينا

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

لقد حددنا هذا مساويا للصفر للعثور على النقاط المهمة ، والحد الأدنى والحد الأدنى المحلي والعالمي وأحيان ا نقاط الانعكاس لها مشتقات من الصفر.

# 0 = 2X + 9 # #=># # س = -9/2 #,

لذلك لدينا نقطة حاسمة واحدة في # س = -9/2 # أو #-4 1/2#.

لإيجاد إحداثي y الخاص بالنقطة الحرجة التي نستخدمها # س = -9/2 # العودة إلى وظيفة ،

#f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

النقطة الحرجة / قمة الرأس هي #(-4 1/2, -19 1/4)#.

نحن نعرف ذلك بسبب # أ> 0 #، هذا هو الحد الأقصى.

لمعرفة ما إذا كان الحد الأقصى أو الحد الأدنى رسمي ا ، نحتاج إلى إجراء الاختبار المشتق الثاني.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

المشتق الثاني هو 2 في جميع قيم x. هذا يعني أنه أكبر من الصفر في كل مكان ، والوظيفة مقعرة في كل مكان (إنها مكافئ # أ> 0 # بعد كل شيء) ، لذلك يجب أن يكون الحد الأقصى ، الحد الأدنى.