إثبات أن: (صحيح على أي موجب x ، ص) :؟ س ^ س * ص ^ ص> = ((س + ص) / 2) ^ (س + ص)

إجابة:

انظر أدناه.

تفسير:

يعتبر #f (x) = x ln x #

هذه الوظيفة لها محدب hypograph ل

#f '' (x) = 1 / x> 0 #

لذلك في هذه الحالة

#f ((x + y) / 2) le 1/2 (f (x) + f (y)) # أو

# ((x + y) / 2) ln ((x + y) / 2) لو 1/2 (x ln x + y ln y) # أو

# ((x + y) / 2) ^ ((x + y) / 2) le (x ^ x y ^ y) ^ (1/2) #

وأخيرا تربيع كلا الجانبين

# ((x + y) / 2) ^ (x + y) le x ^ x y ^ y #