ما هو الجزء المتبقي من p 12 ^ (p-1) ، عندما تكون p أولية؟

إجابة:

الباقي يساوي #0# متى # ف # اما #2# أو #3#، وهو يساوي #1# لجميع الأعداد الأولية الأخرى.

تفسير:

بادئ ذي بدء ، يمكن إعادة بيان هذه المشكلة باعتبارها مضطرة للعثور على قيمة # 12 ^ (p-1) mod p # أين # ف # هو عدد أولي.

لحل هذه المشكلة تحتاج إلى معرفة نظرية أويلر. تنص نظرية أويلر على ذلك #a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # لأي أعداد صحيحة #ا# و # ن # التي هي coprime (لا يشاركون أي عوامل). قد تتساءل ماذا # varphi (n) # هو. هذا هو في الواقع وظيفة تعرف باسم وظيفة totient. يتم تعريفه ليكون مساوي ا لعدد الأعداد الصحيحة # <= ن # أن هذه الأعداد الصحيحة هي coprime ل # ن #. ضع في اعتبارك أن الرقم #1# يعتبر coprime لجميع الأعداد الصحيحة.

الآن بعد أن عرفنا نظرية أويلر ، يمكننا أن نواصل حل هذه المشكلة.

لاحظ أن جميع الأعداد الأولية بخلاف #2# و #3# هي coprime مع #12#. دعونا نضع جانبا 2 و 3 في وقت لاحق والتركيز على بقية الأعداد الأولية. نظر ا لأن تلك الأعداد الأولية الأخرى هي coprime إلى 12 ، فيمكننا تطبيق نظرية Euler عليها:

# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod p #

منذ # ف # هو رقم أولي ، # varphi (ع) = ف 1 #. هذا أمر منطقي لأن كل رقم أقل من رقم أولي سيكون جريمة مع ذلك.

لذلك ، لدينا الآن # 12 ^ {p-1} - = 1 وزارة الدفاع p #

يمكن ترجمة التعبير أعلاه إلى # 12 ^ {ف 1} # مقسوما على # ف # لديه ما تبقى من #1#.

الآن نحن بحاجة فقط لحساب #2# و #3#، كما قلت سابق ا ، كلاهما كان لديه ما تبقى من #0#.

لذلك ، لقد أثبتنا ذلك تمام ا # 12 ^ {ف 1} # مقسوما على # ف # أين # ف # هو عدد أولي لديه ما تبقى من #0# عندما ع هو أيضا #2# أو #3# ولديه ما تبقى من #1# غير ذلك.