ما هو نطاق وظيفة من الدرجة الثانية؟

إجابة:

مدى ال #f (x) = الفأس ^ 2 + bx + c # هو:

# {(c-b ^ 2 / (4a)، oo) "if" a> 0)، ((-oo، c-b ^ 2 / (4a) "if" a <0):} #

تفسير:

إعطاء وظيفة من الدرجة الثانية:

#f (x) = الفأس ^ 2 + bx + c "" # مع #a! = 0 #

يمكننا إكمال المربع للعثور على:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

للقيم الحقيقية لل # # س المصطلح التربيعي # (س + ب / (2A)) ^ 2 # غير سلبي ، مع الحد الأدنى لقيمة #0# متى #x = -b / (2a) #.

ثم:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

إذا #a> 0 # ثم هذا هو الحد الأدنى للقيمة الممكنة لل # F (خ) # ومجموعة من # F (خ) # هو # c-b ^ 2 / (4a)، oo) #

إذا #a <0 # ثم هذا هو أقصى قيمة ممكنة لل # F (خ) # ومجموعة من # F (خ) # هو # (- oo ، c-b ^ 2 / (4a) #

طريقة أخرى للنظر في هذا هو السماح #y = f (x) # ومعرفة ما إذا كان هناك حل ل # # س من ناحية # ذ #.

معطى:

#y = الفأس ^ 2 + bx + c #

طرح # ذ # من كلا الجانبين للعثور على:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

التمييز # دلتا # هذه المعادلة التربيعية هي:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

من أجل الحصول على حلول حقيقية ، نطلب #Delta> = 0 # و حينئذ:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

إضافة # 4AC-ب ^ 2 # لكلا الجانبين للعثور على:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

إذا #a> 0 # ثم يمكننا ببساطة تقسيم الجانبين على #4 ا# للحصول على:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

إذا #a <0 # ثم يمكننا تقسيم الجانبين #4 ا# وعكس عدم المساواة للحصول على:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #