كيف تثبت: secx - cosx = sinx tanx؟

باستخدام تعريفات # # secx و # # tanx، جنبا إلى جنب مع الهوية

# sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #، نحن لدينا

# secx-cosx = 1 / cosx-cosx #

# = 1 / cosx-جتا ^ 2X / cosx #

# = (1-جتا ^ 2X) / cosx #

# = الخطيئة ^ 2X / cosx #

# = sinx * sinx / cosx #

# = # sinxtanx

إجابة:

أولا تحويل جميع المصطلحات إلى # # sinx و # # cosx.

ثانيا تطبيق قواعد مجموع الكسر على LHS.

أخير ا نطبق هوية فيثاغورس: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #

تفسير:

أولا في الأسئلة المتعلقة بهذه الأشكال ، من الجيد تحويل جميع المصطلحات إلى جيب وجيب تمام: لذا ، استبدل #tan x # مع # sin x / cos x #

واستبدال # ثانية × مع # 1 / cos x #.

LHS ، #sec x- cos x # يصبح # 1 / cos x- cos x #.

RHS ، # sin x tan x # يصبح # sin x sin x / cos x # أو # sin ^ 2 x / cos x #.

نحن الآن نطبق قواعد مجموع الكسر على LHS ، مما يجعل قاعدة مشتركة (مثلها مثل كسر الرقم #1/3 +1/4 => 4/12 + 3/12 = 7/12)#.

LHS =# 1 / cos x- cos x => 1 / cos x- cos ^ 2 x / cos x => {1 - cos ^ 2 x} / cos x #.

أخير ا نطبق هوية فيثاغورس: # sin ^ 2 x + cos ^ 2 x = 1 #! (واحدة من أكثر الهويات فائدة لهذه الأنواع من المشاكل).

عن طريق إعادة ترتيب ذلك نحصل عليه # 1- cos ^ 2 x = sin ^ 2 x #.

نحن استبدال # 1- cos ^ 2 x # في LHS مع # الخطيئة ^ 2 × #.

LHS = # {1 - cos ^ 2 x} / cos x => {sin ^ 2 x} / cos x # وهو ما يعادل RHS المعدلة.

وبالتالي LHS = RHS Q.E.D.

لاحظ هذا النمط العام لتوصيل الأشياء إلى شروط الجيب وجيب التمام ، باستخدام قواعد الكسر وهوية فيثاغورس ، وغالب ا ما يحل هذه الأنواع من الأسئلة.

إذا رغبت في ذلك ، فيمكننا أيض ا تعديل الجانب الأيمن لمطابقة الجانب الأيسر.

يجب أن نكتب # # sinxtanx من ناحية # # sinx و # # cosxباستخدام الهوية #COLOR (أحمر) (tanx = sinx / cosx) #:

# sinxtanx = sinx (sinx / cosx) = الخطيئة ^ 2X / cosx #

الآن ، نحن نستخدم هوية فيثاغورس ، وهو # الخطيئة ^ 2X + كوس ^ 2X = 1 #. يمكننا تعديل هذا لحل ل # الخطيئة ^ 2X #، وبالتالي: #COLOR (أحمر) (الخطيئة ^ 2X = 1-جتا ^ 2X) #:

# الخطيئة ^ 2X / cosx = (1-جتا ^ 2X) / cosx #

الآن ، مجرد تقسيم البسط:

# (1-جتا ^ 2X) / cosx = 1 / cosx-جتا ^ 2X / cosx = 1 / cosx-cosx #

استخدم الهوية المتبادلة #COLOR (أحمر) (secx = 1 / cosx #:

# 1 / cosx-cosx = secx-cosx #

إجابة:

انها حقا بهذه البساطة …

تفسير:

باستخدام الهوية # tanx = sinx / cosx #، اضرب # # sinx على الهوية للحصول على:

# secx-cosx = الخطيئة ^ 2X / cosx #

ثم ، اضرب # # cosx من خلال المعادلة إلى العائد:

# 1-جتا ^ 2X = الخطيئة ^ 2X #

معتبرا أن # # secx هو معكوس # # cosx.

وأخيرا ، باستخدام الهوية المثلثية # 1-جتا ^ 2X = الخطيئة ^ 2X #الجواب النهائي سيكون:

# الخطيئة ^ 2X = الخطيئة ^ 2X #