كيف تثبت (tanx + sinx) / (2tanx) = cos ^ 2 (x / 2)؟

سنحتاج إلى هاتين الهويتين لإكمال الدليل:

# tanx = sinx / cosx #

#cos (س / 2) = + - الجذر التربيعي ((1 + cosx) / 2) #

سأبدأ بالجانب الأيمن ، ثم أتعامل معه حتى يبدو الجانب الأيسر:

# RHS = جتا ^ 2 (س / 2) #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (جتا (س / 2)) ^ 2 #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (+ - الجذر التربيعي ((1 + cosx) / 2)) ^ 2 #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (1 + cosx) / 2 #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (1 + cosx) / 2color (أحمر) (* sinx / sinx) #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (sinx + sinxcosx) / (2sinx) لون (أحمر) (* (1 / cosx) / (1 / cosx)) #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (sinx / cosx + (sinxcosx) / cosx) / (2sinx / cosx) #

#COLOR (أبيض) (RHS) = (tanx + sinx) / (2tanx) #

#COLOR (أبيض) (RHS) = LHS #

هذا هو الدليل. نأمل أن يكون هذا ساعد!

نسعى لإثبات الهوية:

# (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) #

النظر في LHS من التعبير ، واستخدام تعريف الظل:

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (sinx / cosx + sinx) / (2 (sinx / cosx)) #

# = (cosx / sinx) ((sinx / cosx + sinx) / 2) #

# = (cosx / sinx * sinx / cosx + cosx / sinx * sinx) / 2 #

# = (1 + cosx) / 2 #

الآن ، فكر في RHS ، واستخدم الهوية:

# cos2A - = 2cos ^ 2A - 1 #

يعطينا:

# cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) - 1 => 1 + cosx - = 2cos ^ 2 (x / 2) #

#:. cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cosx) / 2 = RHS #

على النحو التالي:

# LHS = RHS => (tanx + sinx) / (2tanx) - = cos ^ 2 (x / 2) # وهو المطلوب

# LHS = (tanx + sinx) / (2tanx) #

# = (إلغاء (tanx) (1 + sinx / tanx)) / (2cancel (tanx)) #

# = (1 + cosx) / 2 = (2cos ^ 2 (س / 2)) / 2 = جتا ^ 2 (س / 2) = RHS #