العثور على جميع النقاط الحاسمة لهذه الوظيفة؟

إجابة:

#(0,-2)# هي نقطة السرج

#(-5,3)# هو الحد الأدنى المحلي

تفسير:

نحن معطىون #G (س، ص) = 3X ^ 2 + 6xy + 2Y ^ 3 + 12X-24y #

أولا ، نحن بحاجة للعثور على النقاط فيها # (delg) / (delx) # و # (delg) / (دالي) # كلاهما يساوي 0.

# (delg) / (delx) = 6X + 6Y + 12 #

# (delg) / (دالي) = 6X + 6Y ^ 2-24 #

# 6 (س + ص + 2) = 0 #

# 6 (س + ص ^ 2-4) = 0 #

# س + ص + 2 = 0 #

# س = -y-2 #

# -y-2 + ص ^ 2-4 = 0 #

# ص ^ 2-ص 6 = 0 #

# (ص 3) (ص + 2) = 0 #

# ص = 3 أو -2 #

# س = -3-2 = -5 #

# س = 2-2 = 0 #

تحدث النقاط الحرجة في #(0,-2)# و #(-5,3)#

الآن لتصنيف:

المحدد من # F (X، Y) # اعطي من قبل #D (س، ص) = (ديل ^ 2G) / (delx ^ 2) (ديل ^ 2G) / (دالي ^ 2) - ((دل ^ 2G) / (delxy)) ^ 2 #

# (ديل ^ 2G) / (delx ^ 2) = ديل / (delx) ((delg) / (delx)) = ديل / (delx) (6X + 6Y + 12) = 6 #

# (ديل ^ 2G) / (دالي ^ 2) = ديل / (دالي) ((delg) / (دالي)) = ديل / (دالي) (6X + 6Y ^ 2-24) = 12Y #

# (ديل ^ 2G) / (delxy) = ديل / (delx) ((delg) / (دالي)) = ديل / (delx) (6X + 6Y ^ 2-24) = 6 #

# (ديل ^ 2G) / (delyx) = ديل / (دالي) ((delg) / (delx)) = ديل / (دالي) (6X + 6Y + 12) = 6 #

#D (س، ص) = 6 (12Y) -36 #

#D (0، -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5،3) = 72 (3) -36 = 180 #

منذ #D (0، -2) <0 #, #(0,-2)# هي نقطة السرج.

ومنذ ذلك الحين #D (-5،3)> 0 و (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# هو الحد الأدنى المحلي. (# (ديل ^ 2G) / (delx ^ 2) = 6 # لذلك نحن لسنا بحاجة للقيام بأي حسابات).