زاويتان من مثلث متساوي الساقين هي في (1 ، 3) و (9 ، 4). إذا كانت مساحة المثلث 64 ، فما هي أطوال جوانب المثلث؟

إجابة:

أطوال جوانب المثلث هي:

#sqrt (65) ، sqrt (266369/260) ، sqrt (266369/260) #

تفسير:

المسافة بين نقطتين # (x_1 ، y_1) # و # (x_2 ، y_2) # تعطى بواسطة صيغة المسافة:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

لذلك المسافة بين # (x_1 ، y_1) = (1 ، 3) # و # (x_2 ، y_2) = (9 ، 4) # هو:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

وهو رقم غير عقلاني أكبر بقليل من #8#.

إذا كان أحد الجوانب الأخرى للمثلث هو نفس الطول ، فعندئذ تكون أقصى مساحة ممكنة للمثلث هي:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

لذلك لا يمكن أن يكون الأمر كذلك. بدلا من ذلك ، يجب أن يكون الطرفان الآخران بنفس الطول.

إعطاء مثلث مع الجانبين # a = sqrt (65) ، b = t ، c = t #، يمكننا استخدام صيغة هيرون لإيجاد منطقتها.

صيغة مالك الحزين يخبرنا أن منطقة المثلث مع الجانبين # أ ، ب ، ج # وشبه المحيط #s = 1/2 (a + b + c) # اعطي من قبل:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

في حالتنا ، يكون المحيط شبه:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

وصيغة هيرون تخبرنا أن:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (أبيض) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

اضرب كلا الطرفين ب #2# للحصول على:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

مربع كلا الجانبين للحصول على:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

اضرب كلا الجانبين ب #4/65# للحصول على:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

نقل وإضافة #65/4# لكلا الجانبين للحصول على:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

خذ الجذر التربيعي الإيجابي لكلا الجانبين للحصول على:

#t = sqrt (266369/260) #

إذن أطوال جوانب المثلث هي:

#sqrt (65) ، sqrt (266369/260) ، sqrt (266369/260) #

طريقة بديلة

بدلا من استخدام صيغة Heron ، يمكننا أن نسبب ما يلي:

بالنظر إلى أن قاعدة مثلث متساوي الساقين بطول:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

المنطقة هي # 64 = 1/2 "قاعدة" xx "ارتفاع" #

إذن ارتفاع المثلث هو:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

هذا هو طول منصف عمودي للمثلث ، الذي يمر عبر منتصف القاعدة.

وبالتالي فإن الجانبين الآخرين يشكلان موصلين لثلاثي زاوية قائمة الزاوية #sqrt (65) / 2 # و # (128sqrt (65)) / 65 #

لذلك فيثاغورس ، كل جانب من هذه الجوانب هو طول:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #