كيف يمكنك التمييز بين f (x) = (x-e ^ x) (cosx + 2sinx) باستخدام قاعدة المنتج؟

إجابة:

أولا عليك استخدام قاعدة الإنتاج للحصول على

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #

ثم استخدم الخطية للتعريفات المشتقة والوظيفة للحصول على

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #

تفسير:

تتضمن قاعدة المنتج أخذ مشتق الوظيفة الذي يمثل مضاعفات وظيفتين (أو أكثر) ، في النموذج # F (س) = ز (خ) * ح (خ) #. حكم المنتج هو

# d / dx f (x) = (d / dx g (x)) * h (x) + g (x) * (d / dx h (x)) #.

تطبيقه على وظيفتنا ،

# F (س) = (س ه ^ س) (cosx + 2sinx) #

نحن لدينا

# d / dx f (x) = (d / dx (x-e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (d / dx (cosx + 2sinx)) #.

بالإضافة إلى ذلك ، نحتاج إلى استخدام خطية الاشتقاق ، ذلك

# d / dx (a * f (x) + b * g (x)) = a * (d / dx f (x)) + b * (d / dx g (x)) #.

تطبيق هذا لدينا

# d / dx f (x) = (d / dx (x) -d / dx (e ^ x)) (cosx + 2sinx) + (xe ^ x) (d / dx (cosx) + 2 * d / dx (sinx)) #.

نحن بحاجة إلى القيام المشتقات الفردية لهذه الوظائف ، ونحن نستخدم

# d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1} # # # # # # # # d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin x = cos x # # # # # # # # d / dx cos x = - sin x #.

الآن لدينا

# d / dx f (x) = (1 * x ^ 0-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #.

# d / dx f (x) = (1-e ^ x) (cosx + 2sinx) + (x-e ^ x) (- sinx + 2cosx) #

عند هذه النقطة نحن فقط أنيق قليلا

# d / dx f (x) = (cosx + 2sinx) -e ^ x (cosx + 2sinx) + x (-sinx + 2 * cosx) + e ^ x (sinx-2cosx) #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-e ^ xcosx-2 e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx + e ^ x sinx-2e ^ xcosx #

# d / dx f (x) = cosx + 2sinx-3e ^ xcosx-e ^ xsinx- xsinx + 2xcosx #