كيف يمكنك العثور على الحد lim_ (h-> 0) (sqrt (1 + h) -1) / h؟

إجابة:

# فارك {1} {2} #

تفسير:

الحد يعرض نموذج غير محدد #0/0#. في هذه الحالة ، يمكنك استخدام نظرية المستشفى ، التي تنص على ذلك

#lim frac {f (x)} {g (x)} = lim frac {f '(x)} {g' (x)} #

مشتق البسط هو

# فارك {1} {2sqrt (1 + ح)} #

بينما مشتق المقام هو ببساطة #1#.

وبالتالي،

# lim_ {x to 0} frac {f '(x)} {g' (x)} = lim_ {x to 0} frac { frac {1} {2sqrt (1 + h)} } {1} = lim_ {x to 0} frac {1} {2sqrt (1 + h)} #

وبالتالي ببساطة

# فارك {1} {2sqrt (1)} = فارك {1} {2} #

إجابة:

# = 1/2 #

تفسير:

إذا كنت غير مدركين لحكم l'hopitals …

استعمال:

# (1 + x) ^ n = 1 + nx + (n (n-1)) / (2!) x ^ 2 + … #

# => (1 + h) ^ (1/2) = 1 + 1 / 2h - 1/8 h ^ 2 + … #

# => lim_ (h إلى 0) ((1 + 1/2 h - 1 / 8h ^ 2 + …) - 1) / h #

# => lim_ (ح إلى 0) (1/2 س - 1/8 س ^ 2 + …) / س #

# => lim_ (ساعة إلى 0) (1/2 - 1/8 ساعة + …) #

# = 1/2 #