ما هو int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx؟

إجابة:

#= 1/4#

تفسير:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

إجابة:

#1/4#

تفسير:

يمكنك القيام بذلك بعدة طرق ، إليك طريقتان. الأول هو استخدام البديل:

#color (red) ("الطريقة 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

سمح #u = ln (x) تعني du = (dx) / x #

تحويل الحدود:

#u = ln (x) تعني u: 0 rarr 1 #

يصبح التكامل:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

هذه هي الطريقة الأبسط ، ولكن قد لا تكون قادر ا دائم ا على إجراء الاستبدال. البديل هو التكامل عن طريق الأجزاء.

#color (red) ("الطريقة 2") #

استخدام التكامل حسب الأجزاء:

لوظائف #u (x) و v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) تعني u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) تعني v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

تجميع مثل المصطلحات:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

نحن نعمل مع جزء لا يتجزأ واضح ، لذلك تطبيق الحدود وإزالة الثابت:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1 ، ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #