إجابة:
يتقارب التسلسل
تفسير:
لمعرفة ما إذا كان التسلسل
باستخدام قاعدة l'Hôpital ،
منذ
باستخدام تعريف التقارب ، كيف تثبت أن التسلسل {5+ (1 / n)} يتقارب من n = 1 إلى اللانهاية؟
Let: a_n = 5 + 1 / n ثم لأي m ، n في NN مع n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) مثل n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n و 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. بالنظر إلى أي رقم حقيقي epsilon> 0 ، اختر عدد ا صحيح ا N> 1 / epsilon. بالنسبة لأي أعداد صحيحة m ، n> N لدينا: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon الذي يثبت حالة كوشي لتقارب التسلسل.
باستخدام تعريف التقارب ، كيف تثبت أن التسلسل {2 ^-n} يتقارب من n = 1 إلى اللانهاية؟
استخدم خصائص الدالة الأسية لتحديد N مثل | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon for every m، n> N ينص تعريف التقارب على أن {a_n} يتقارب إذا: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m، n> N "" | a_n-a_m | <epsilon ، إذا أعطيت epsilon> 0 خذ N> log_2 (1 / epsilon) و m ، n> N مع m <n باسم m <n ، (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 هكذا | 2 ^ (- م) - 2 ^ (- ن) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (mn)) الآن ك 2 ^ x دائم ا موجب ، (1- 2 ^ (mn)) <1 ، لذلك 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) وكما 2 ^ (- x) يتناقص بدقة و m> N > log_2 (1 / epsilon) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n)
هل تشير السلسلة إلى التقارب التام أو التقارب المشروط أو التباعد؟ rarr 4-1 + 1 / 4-1 / 16 + 1/64 ...
يتلاقى تماما. استخدم اختبار التقارب المطلق. إذا أخذنا القيمة المطلقة للمصطلحات ، فسنحصل على السلسلة 4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ... هذه سلسلة هندسية ذات نسبة مشتركة 1/4. وبالتالي يتقارب. منذ كليهما | a_n | يتلاقى a_n يتلاقى تماما. نأمل أن هذا يساعد!