باستخدام تعريف التقارب ، كيف تثبت أن التسلسل {2 ^-n} يتقارب من n = 1 إلى اللانهاية؟

إجابة:

استخدم خصائص الدالة الأسية لتحديد N مثل # | 2 ^ (- ن) -2 ^ (- م) | <إبسيلون # لكل # م ، ن> ن #

تفسير:

تعريف التقارب ينص على أن # {a_n} # يتقارب إذا:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m، n> N "" | a_n-a_m | <إبسيلون #

لذلك ، معطى #epsilon> 0 # يأخذ #N> log_2 (1 / epsilon) # و # م ، ن> ن # مع # م <ن #

مثل # م <ن #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # وبالتالي # | 2 ^ (- م) - 2 ^ (- ن) | = 2 ^ (- م) - 2 ^ (- ن) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

لم يكن # 2 ^ س # هو دائما إيجابي ، # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #، وبالتالي

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

و كما # 2 ^ (- خ) # يتناقص بصرامة و #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

لكن:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

وبالتالي:

# | 2 ^ (- م) - 2 ^ (- ن) | <إبسيلون #

وهو المطلوب إثباته