باستخدام تعريف التقارب ، كيف تثبت أن التسلسل {5+ (1 / n)} يتقارب من n = 1 إلى اللانهاية؟

السماح:

#a_n = 5 + 1 / n #

ثم لأي # م ، ن في NN # مع #n> م #:

#abs (a_m-a_n) = القيمة المطلقة ((5 + 1 / م) - (5 + 1 / ن)) #

#abs (a_m-a_n) = القيمة المطلقة (5 + 1 / م -5-1 / ن) #

#abs (a_m-a_n) = القيمة المطلقة (1 / م -1 / ن) #

مثل #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / م -1 / n #

و كما # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / م #.

بالنظر إلى أي رقم حقيقي #epsilon> 0 #، ثم اختيار عدد صحيح # N> 1 / إبسيلون #.

لأي أعداد صحيحة # م ، ن> ن # نحن لدينا:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

مما يثبت حالة كوشي لتقارب تسلسل.