يتسرب الماء من خزان مخروطي مقلوب بمعدل 10000 سم 3 / دقيقة في نفس الوقت يتم ضخ المياه في الخزان بمعدل ثابت إذا كان ارتفاع الخزان 6 أمتار وقطره 4 م و إذا كان مستوى الماء يرتفع بمعدل 20 سم / دقيقة عندما يكون ارتفاع الماء 2 متر ، كيف يمكنك العثور على معدل ضخ المياه في الخزان؟

سمح #الخامس# يكون حجم الماء في الخزان ، في # سم ^ 3 #. سمح # ح # يكون عمق / ارتفاع الماء ، في الطول ؛ واسمحوا # ص # يكون نصف قطر سطح الماء (في الأعلى) ، في الطول. لأن الخزان مخروط مقلوب ، وكذلك كتلة الماء. نظر ا لأن الخزان يبلغ ارتفاعه 6 أمتار ونصف قطره أعلى 2 م ، فإن المثلثات المماثلة تعني ذلك # فارك {ح} {ص} = فارك {6} {2} = 3 # لهذا السبب # ح = 3R #.

حجم مخروط مقلوب من الماء ثم # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

التفريق الآن بين الجانبين فيما يتعلق بالوقت # ر # (في دقائق) للحصول على # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (يتم استخدام قاعدة السلسلة في هذه الخطوة).

إذا #السادس}# هو حجم الماء الذي تم ضخه ، ثم # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (عندما يكون ارتفاع / عمق الماء 2 متر ، يكون نصف قطر الماء # فارك {200} {3} # سم).

وبالتالي # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 approx 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.