يمكن أن تكون وظيفة مستمرة وغير قابلة للتمييز في مجال معين؟

إجابة:

نعم فعلا.

تفسير:

من أكثر الأمثلة المذهلة على ذلك وظيفة Weierstrass ، التي اكتشفها كارل Weierstrass والتي حددها في ورقته الأصلية على النحو التالي:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

أين # 0 <a <1 #, #ب# هو عدد صحيح غريب ونيف #ab> (3pi + 2) / 2 #

هذه هي وظيفة شائك للغاية ومستمر في كل مكان على الخط الحقيقي ، ولكن لا يمكن تمييزها في أي مكان.

إجابة:

نعم ، إذا كان لديه نقطة "عازمة". مثال واحد هو # F (س) = | س | # في # x_0 = 0 #

تفسير:

الوظيفة المستمرة تعني عملي ا رسمها دون إخراج القلم من الورقة. رياضيا ، وهذا يعني أن لأي # # x_0 قيم # F (x_0) # لأنها اقتربت مع صغيرة بلا حدود # DX # من اليسار واليمين يجب أن تكون متساوية:

#lim_ (X-> x_0 ^ -) (و (خ)) = lim_ (X-> x_0 ^ +) (و (خ)) #

حيث تعني علامة الطرح الاقتراب من اليسار وعلامة الجمع تعني الاقتراب من اليمين.

وظيفة التفاضل تعني عمليا وظيفة تغير منحدرها بثبات (ليس بمعدل ثابت). لذلك ، فإن الوظيفة التي لا يمكن تمييزها في نقطة معينة تعني عمليا أنها تغير فجأة ميلها من يسار تلك النقطة إلى اليمين.

دعونا نرى 2 وظائف.

# F (س) = س ^ 2 # في # x_0 = 2 #

رسم بياني

رسم بياني {x ^ 2 -10 ، 10 ، -5.21 ، 5.21}

الرسم البياني (تم التكبير)

رسم بياني {x ^ 2 0.282 ، 3.7 ، 3.073 ، 4.783}

منذ في # x_0 = 2 # يمكن تشكيل الرسم البياني دون إخراج القلم من الورقة ، وتكون الوظيفة مستمرة في تلك المرحلة. نظر ا لعدم ثنيها في هذه المرحلة ، يمكن تمييزها أيض ا.

#G (س) = | س | # في # x_0 = 0 #

رسم بياني

رسم بياني {absx -10 ، 10 ، -5.21 ، 5.21}

في # x_0 = 0 # الوظيفة مستمرة حيث يمكن رسمها دون إخراج القلم من الورقة. ومع ذلك ، نظر ا لأنه يتم ثنيها في تلك المرحلة ، فإن الوظيفة غير قابلة للتمييز.